素数 \(p , q\) を用いて \[ p^q +q^p \] と表される素数をすべて求めよ.
【 解 答 】
\(M = p^q +q^p\) とおく.
\(p , q\) は素数なので, \(2\) 以上であり, 対称性から \(p \geqq q \ ... [1]\) と仮定してもよい.
このとき
\[
M \geqq 2 \cdot 2^2 = 8 \quad ... [2]
\]
ゆえに, \(2\) 以外の素数は奇数だから, \(M\) は奇数である.
したがって, \(p , q\) のいずれかは偶数であり, [1] より
\[
q = 2
\]
次に, \(p\) が \(5\) 以上の素数であると仮定する.
\(p\) は \(2 , 3\) のいずれでも割り切れないので, 自然数 \(k\) を用いて
\[
p = 6k \pm 1
\]
と表せる.
このとき, 法を \(3\) として
\[\begin{align}
p^2 & \equiv ( \pm 1 ) \equiv 1 , \\
2^p & \equiv 2 \cdot 64^k , 32 \cdot 64^{k-1} \equiv 2 , 32 \equiv 2 \\
& \quad \text{∴} \quad M \equiv 1+2 \equiv 0
\end{align}\]
つまり, \(M = 3\) だが, これは [2] に矛盾する.
したがって
\[
p = 3
\]
このとき
\[
M = 3^2 +2^3 = 17
\]
で, 素数である.
よって, 求める素数は
\[
\underline{17}
\]