円上の \(5\) 点 A, B, C, D, E は反時計回りにこの順に並び, 円周を \(5\) 等分している. \(5\) 点 A, B, C, D, E を頂点とする正五角形を \(\text{R} _ 1\) とする. \(\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{c}\) とおき, \(\overrightarrow{a}\) の大きさを \(x\) とする.
(1) \(\overrightarrow{\text{AC}}\) の大きさを \(y\) とするとき, \(x^2 = y (y-x)\) がなりたつことを示せ.
(2) \(\overrightarrow{\text{BC}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{c}\) を用いて表せ.
(3) \(\text{R} _ 1\) の対角線の交点として得られる \(\text{R} _ 1\) の内部の \(5\) つの点を頂点とする正五角形を \(\text{R} _ 2\) とする. \(\text{R} _ 2\) の一辺の長さを \(x\) を用いて表せ.
(4) \(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対して, \(\text{R} _ n\) の対角線の交点として得られる \(\text{R} _ n\) の内部の \(5\) つの点を頂点とする正五角形を \(\text{R} _ {n+1}\) とし, \(\text{R} _ n\) の面積を \(S _ n\) とする. \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{S _ 1} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} (-1)^{k+1} S _ k \] を求めよ.
【 解 答 】
(1)
円周角の定理より, 条件から
\[
\angle \text{BAC} = \angle \text{ACB} = \angle \text{ABE} = \dfrac{\pi}{5} \quad ... [1]
\]
AC と BE の交点を F とすると
\[\begin{align}
\angle \text{BFC} & = \angle \text{BAC} +\angle \text{ABE} = \dfrac{2 \pi}{5} \\
\angle \text{BFC} & = \pi -\angle \text{ACB} -\angle \text{BFC} = \dfrac{2 \pi}{5}
\end{align}\]
なので, \(\triangle \text{BCF}\) は二等辺三角形で
\[
\text{FC} = \text{BC} = x \quad ... [2]
\]
したがって, \(\text{AF} = y-x\) .
また, [1] より, \(\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{BFA}\) なので
\[\begin{align}
\text{BC} : \text{CA} & = \text{FA} : \text{AB} \\
x : y & = (y-x) : x \\
\text{∴} \quad x^2 & = y (y-x)
\end{align}\]
(2)
\[\begin{align} \overrightarrow{\text{BC}} & = \overrightarrow{\text{BE}} +\overrightarrow{\text{EC}} \\ & = \dfrac{y}{x} \overrightarrow{c} +\dfrac{y}{x} \overrightarrow{a} \end{align}\] \(x \neq 0\) なので, (1) の結果より \[\begin{align} y^2 -xy -x^2 & = 0 \\ \left( \dfrac{y}{x} \right)^2 -\dfrac{y}{x} -1 & = 0 \\ \text{∴} \quad \dfrac{y}{x} & = \dfrac{1 +\sqrt{5}}{2} \end{align}\] よって \[ \overrightarrow{\text{BC}} = \underline{\dfrac{1 +\sqrt{5}}{2} \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{c} \right)} \]
(3)
求める一辺の長さは \[\begin{align} y -2(y-x) & = 2x-y \\ & = \left( 2 -\dfrac{1 +\sqrt{5}}{2} \right) x \\ & = \underline{\dfrac{3 -\sqrt{5}}{2} x} \end{align}\]
(4)
\(p = \dfrac{3 -\sqrt{5}}{2}\) とおくと, \(0 \lt p \lt 1\) .
\(\text{R} _n\) と \(\text{R} _{n+1}\) の相似比は \(1 : p\) なので, 面積比は \(1 : p^2 \) .
ここで
\[
p^2 = \dfrac{14 -6 \sqrt{5}}{4} = \dfrac{7 -3 \sqrt{5}}{2}
\]
求める値 \(I\) は, 初項\(1\) , 公比 \(-p^2\) の無限等比級数の和なので
\[\begin{align}
I & = \dfrac{1}{1 -(-p^2)} = \dfrac{2}{2 +(7 -3 \sqrt{5})} \\
& = \dfrac{2}{9 -3 \sqrt{5}} = \dfrac{2 ( 9 +3 \sqrt{5} )}{81 -45} \\
& = \underline{\dfrac{3 +\sqrt{5}}{6}}
\end{align}\]