\(1\) 以上 \(6\) 以下の \(2\) つの整数 \(a , b\) に対し, 関数 \(f _ n (x) = \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を次の条件 (ア), (イ), (ウ) で定める.
\[
\begin{array}{lll} \text{(ア)} & f _ 1 (x) = \sin ( \pi x ) & \\ \text{(イ)} & f _ {2n} (x) = f _ {2n-1} \left( \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} -x \right) & ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \\ \text{(ウ)} & f _ {2n+1} (x) = f _ {2n} ( -x ) & ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \end{array}
\]
以下の問いに答えよ.
【 解 答 】
(1)
\(c = \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}\) とおく.
自然数 \(n\) に対して
\[
f _{2n} (x) = \sin ( cn -x ) \pi , \ f _{2n+1} (x) = \sin ( cn +x ) \pi \quad ... [ \text{*} ]
\]
が成立することを帰納法を用いて示す.
1* \(n = 1\) のとき
条件 (イ) (ウ) より
\[\begin{align}
f_2 (x) & = f_1 (c-x) = \sin (c-x) \pi \\
f_3 (x) & = f_2 (-x) = \sin (c+x) \pi
\end{align}\]
なので, [*] が成立する.
2* \(n = k\) のとき, [*] が成立する, すなわち
\[
f _{2k} (x) = \sin ( ck -x ) \pi , \ f _{2k+1} (x) = \sin ( ck +x ) \pi
\]
と仮定すると, 条件 (イ) (ウ) より
\[\begin{align}
f _{2k+2} (x) & = f _{2k+1} (c-x) = \sin \{ c(k+1) -x \} \pi \\
f _{2k+3} (x) & = f _{2k+2} (-x) = \sin \{ c(k+1) +x \} \pi
\end{align}\]
なので, \(n = k+1\) のときも [*] が成立する.
以上より, すべての自然数 \(n\) について, [*] が成立することが示された.
\(c = \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}\) なので, [*] より
\[\begin{align}
f_5 (0) & = \sin 2 \cdot \dfrac{5}{6} \pi \\
& = \sin \dfrac{5 \pi}{3} = \underline{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}
\end{align}\]
(2)
\(g(n) = (-1)^n f _{2n} (0)\) とおく.
\(c = \dfrac{5}{6}\) なので
\[
g(n) = (-1)^n \sin \dfrac{5 n \pi}{6}
\]
ここで
\[\begin{align}
g (n+6) & = (-1)^{n+6} f _{2(n+6)} (0) \\
& = (-1)^n \sin \left( \dfrac{5n}{6} +5 \right) \pi \\
& = (-1)^{n+1} \sin \dfrac{5 n \pi}{6} = -g(n)
\end{align}\]
したがって
\[
g (n+12) = g(n)
\]
また
\[
\textstyle\sum\limits _{k=i}^{i+12} g(k) = 0
\]
\(100 = 4 +8 \cdot 12\) なので, 求める和は
\[\begin{align}
\textstyle\sum\limits _{k=1}^{100} g(k) & = \textstyle\sum\limits _{k=1}^{4} g(k) \\
& = \sin \dfrac{5 \pi}{6} -\sin \dfrac{5 \pi}{3} +\sin \dfrac{5 \pi}{2} -\sin \dfrac{10 \pi}{3} \\
& = \dfrac{1}{2} -\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) +1 -\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \\
& = \underline{\dfrac{3}{2} +\sqrt{3}}
\end{align}\]
(3)
[*] より
\[
f _6 (0) = \sin 3c \pi = 0
\]
なので, 整数 \(m\) を用いて
\[\begin{align}
3c & = m \\
3 \left( \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} \right) & = m \\
\text{∴} \quad 3 (a+b) & = mab
\end{align}\]
\(a , b\) は \(1\) から \(6\) の整数なので, これを満たす \((a,b)\) の組は
\[
(1,1) , (1,3) , (2,2) , (2,6) , (3,1) , (3,3) , (6,2) , (6,6)
\]
の \(8\) 組のみ.
よって, 求める確率は
\[
\dfrac{8}{6^2} = \underline{\dfrac{2}{9}}
\]
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