\(p ,q\) は実数の定数で, \(0 \lt p \lt 1\) , \(q \gt 0\) をみたすとする. 関数 \[ f(x) = (1-p) x +(1-x)( 1-e^{-qx} ) \] を考える. 以下の問いに答えよ. 必要であれば, 不等式 \(1+x \leqq e^x\) がすべての実数 \(x\) に対して成り立つことを証明なしに用いてよい.

1. (1)　\(0 \lt x \lt 1\) のとき, \(0 \lt f(x) \lt 1\) であることを示せ.

2. (2)　\(x _ 0\) は \(0 \lt x _ 0 \lt 1\) をみたす実数とする. 数列 \(\left\{ x _ n \right\}\) の各項 \(x _ n \ ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )\) を, \[ x _ n = f( x _ {n-1} ) \] によって順次定める. \(p \gt q\) であるとき, \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} x _ n = 0 \] となることを示せ.

3. (3)　\(p \lt q\) であるとき, \[ c = f(c) , \quad 0 \lt c \lt 1 \] をみたす実数 \(c\) が存在することを示せ.

【 解 答 】

(1)

\(0 \lt x \lt 1\) なので, \(f(x)\) は, \(1-p\) と \(1 -e^{-qx}\) の加重平均である.
\(0 \lt p \lt 1\) より \[ 0 \lt 1-p \lt 1 \] \(q \gt 0\) より, \(0 \lt e^{-qx} \lt 1\) なので \[ 0 \lt 1 -e^{-qx} \lt 1 \] よって \[ 0 \lt f(x) \lt 1 \]

(2)

\(1+x \leqq e^x\) ...[A] が, すべての実数について成立するので, \(x\) を \(-qx\) に置き換えれば \[\begin{align} 1 -qx & \leqq e^{-qx} \\ \text{∴} \quad 1 -e^{-qx} & \leqq qx \quad ... [1] . \end{align}\] [1] を用いれば, \(0 \lt x \lt 1\) に対して \[\begin{align} f(x) & \leqq (1-p) x +( 1 -x ) qx \\ & = ( 1-p+q ) x -qx^2 \\ & \lt ( 1-p+q ) x \end{align}\] 条件 \(p \gt q\) より, \(0 \lt 1-p+q \lt 1\) ...[2] であることと, (1) の結果より \[ 0 \lt f(x) \lt ( 1-p+q ) x \quad ... [3] \] ここで, すべての自然数 \(n\) について \[ 0 \lt x _ n \lt ( 1-p+q )^n x _ 0 \quad ... [ \text{＊} ] \] が成立することを, 数学的帰納法を用いて示す.

1. 1*　\(n=1\) のとき
   条件より, \(0 \lt x _ 0 \lt 1\) なので, [3] を用いれば \[ 0 \lt x _ 1 \lt ( 1-p+q ) x _ 0 \] ゆえに, [＊]が成立している.

2. 2*　\(n=k \ ( k = 1, 2, \cdots )\) のとき
   [＊]が成立する, すなわち \[ 0 \lt x _ k \lt ( 1-p+q )^k x _ 0 \] と仮定すると, [3] を用いて \[ 0 \lt f( x _ k ) \lt ( 1-p+q ) x _ k \\ \text{∴} \quad 0 \lt x _ {k+1} \lt ( 1-p+q )^{k+1} x _ 0 \] つまり, \(n=k+1\) のときも, [＊]が成立する.

1*, 2*より, すべての自然数 \(n\) に対して, [＊] が成立することが示された.
[2] に注意すれば \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} ( 1-p+q )^n x _ 0 = 0 \] なので, はさみうちの原理より \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} x _ n = 0 \]

(3)

\(g(x) = f(x) -x\) とおいて, \(g(c) = 0 \ ( 0 \lt c \lt 1 )\) となる実数 \(c\) の存在を示せばよい. \[ g(0) = 0 , \quad g(1) = -p \lt 0 \quad ... [4] \] \(p \lt q\) より, \(0 \lt \dfrac{p}{q} \lt 1\) であり \[\begin{align} g \left( \dfrac{p}{q} \right) & = (1-p) \dfrac{p}{q} +\left( 1-\dfrac{p}{q} \right) \left( 1-e^{-p} \right) \\ & = \dfrac{1}{qe^p} \left\{ p(1-p) +(q-p)(e^p-1) \right\} \\ & \gt 0 \quad ... [5] \end{align}\] したがって, [4] [5] より, \(\dfrac{p}{q} \lt x \lt 1\) において \(g(x) = 0\) となる実数 \(x\) が少なくとも \(1\) つ存在する.
よって, 題意は示された.