\(3p^3-p^2q-pq^2+3q^3 = 2013\) を満たす正の整数 \(p , q\) の組をすべて求めよ.

【 解 答 】

与式を変形すると \[\begin{align} 3 ( p^3 +q^3 ) -pq(p+q) & = 2013 \\ \text{∴} \quad (p+q) ( 3p^2 -4pq +3q^2 ) & = 2013 \quad ... [1] \end{align}\] \(p+q = k\) （ \(k\) は \(2\) 以上の整数）とおいて, [1]に代入すると \[\begin{align} 3p^2 -4p(k-p) +3(k-p)^2 & = \dfrac{2013}{k} \\ \text{∴} \quad 10p^2 -10kp +3k^2 -\dfrac{2013}{k} & = 0 \quad ... [2] \end{align}\] これをみたす整数 \(p\) が存在するので, 判別式 \(D\) について \[\begin{align} \dfrac{D}{4} & = (5k)^2 -10 \left( 3k^2 -\dfrac{2013}{k} \right) \geqq 0 \\ & -k^2 +\dfrac{4026}{k} \geqq 0 \\ & \text{∴} \quad k^3 \leqq 4046 \end{align}\] \(15^3 = 3375\) , \(16^3 = 4096\) なので \[ 1 \leqq k \leqq 15 \] これと, \(2013 = 3 \cdot 11 \cdot 61\) であることに注意すれば, [1] をみたす \(k\) の候補は \[ k = 3 , 11 \] それぞれの場合について調べる.

• \(k = 3\) のとき, [2] に代入すれば \[\begin{align} 10p^2 -30p +27 -671 & = 0 \\ 5p^2 -15p -322 & = 0 \\ \end{align}\] これは, 整数解をもたず不適.

• \(k = 11\) のとき, [2] に代入すれば \[\begin{align} 10p^2 -110p +363 -183 & = 0 \\ p^2 -11p -18 & = 0 \\ (p-2)(p-9) & = 0 \\ \text{∴} \quad p = 2 , 9 & \end{align}\] このとき, \(q = 11-p\) も整数である.

よって, 求める解は \[ ( p , q ) = \underline{( 2 , 9 ) , \ ( 9 , 2 )} \]