平面上の \(4\) 点 O , A , B , C が \[ \text{OA} = 4 , \ \text{OB} = 3 , \ \text{OC} = 2 , \ \overrightarrow{\text{OB}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} = 3 \] を満たすとき, △ABC の面積の最大値を求めよ.

【 解 答 】

条件より \[\begin{align} \overrightarrow{\text{OB}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} & = 3 \cdot 2 \cdot \cos \angle \text{BOC} = 3 \\ \text{∴} \quad \cos \angle \text{BOC} & = \dfrac{1}{2} \\ \text{∴} \quad \angle \text{BOC} & = 60^{\circ} \end{align}\] △OBC に対して, 点 A は点 O を中心とする半径 \(4\) の円周上を動くと考えられる.
△ABC の面積が最大になるのは, 点 A が辺 BC からもっとも離れているとき, つまり \(\text{AO} \perp \text{BC}\) となるときである.
AO の延長線と BC の交点を H とおく. \[ \text{BC} = \sqrt{2^2 +3^3 -2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos 60^{\circ}} = \sqrt{7} \] △OBC の面積に着目すれば \[\begin{align} \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{7} \text{OH} & = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin 60^{\circ} \\ \text{∴} \quad \text{OH} & = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{7}} \end{align}\] よって, 求める面積の最大値は \[ \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{7} \left( \dfrac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{7}} +4 \right) = \underline{\dfrac{3 \sqrt{3}}{4} +2 \sqrt{7}} \]