\(C\) を半径 \(1\) の円周とし, A を \(C\) 上の \(1\) 点とする. \(3\) 点 P , Q , R が A を時刻 \(t = 0\) に出発し, \(C\) 上を各々一定の速さで, P , Q は反時計回りに, R は時計回りに, 時刻 \(t = 2\pi\) まで動く. P , Q , R の速さは, それぞれ \(m , 1 , 2\) であるとする. （したがって, Q は \(C\) をちょうど一周する. ） ただし, \(m\) は \(1 \leqq m \leqq 10\) をみたす整数である. \(\triangle \text{PQR}\) が PR を斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ \(m\) と時刻 \(t\) の組をすべて求めよ.
【 解 答 】
\(xy\) 平面上で, A \((1,0)\) とおくと \[ \text{P} ( \cos mt , \sin mt ) , \ \text{Q} ( \cos t , \sin t ) , \ \text{R} ( \cos (-2t) , \sin (-2t) ) \] と表せる. \(\triangle \text{PQR}\) が PR を斜辺とする直角二等辺三角形となるのは \[ \left\{\begin{array}{ll} \angle \text{POR} = \pi & \quad ... [1] \\ \angle \text{ROQ} = \dfrac{\pi}{2} & \quad ... [2] \end{array}\right. \] が成り立つときである.
[2] より
\[
\left| t -(-2t) -k \pi \right| = \left| 3t - k \pi \right| = \dfrac{\pi}{2} \quad ( k \text{は整数} )
\]
\(0 \leqq t \leqq 2 \pi\) より \(0 \leqq 3t \leqq 6 \pi\) なので
\[
3t = \dfrac{\pi}{2} +k \pi \ ( k = 0 , 1 , \cdots , 5 ) \quad ... [3]
\]
したがって, [1] [3] をみたす \((m,t)\) の組を求めればよい.以下では, \(k = 0 , 1 , \cdots , 5\) それぞれの場合について, 条件をみたす整数 \(m\) を求める.
1* \(k=0\) のとき
[3]より, \(t = \dfrac{\pi}{6}\)
このとき, \(\angle \text{AOR} = -\dfrac{\pi}{3}\) なので[1]より, \(\angle \text{AOP} = \dfrac{2}{3}\pi\)
ゆえに \[ m \cdot \dfrac{\pi}{6} = \left( \dfrac{2}{3} +2l \right) \pi \Longleftrightarrow m = 4 +12l \quad ( l \text{は整数} ) \] \(1 \leqq m \leqq 10\) なので \[ m = 4 \]2* \(k=1\) のとき
[3] より, \(t = \dfrac{3}{2} \pi \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{\pi}{2}\)
このとき, \(\angle \text{AOR} = -\pi\) なので[1]より, \(\angle \text{AOP} = 0\)
ゆえに \[ m \cdot \dfrac{\pi}{2} = 2l \pi \Longleftrightarrow m = 4l \quad ( l \text{は整数} ) \] \(1 \leqq m \leqq 10\) なので \[ m = 4 , 8 \]3* \(k=2\) のとき
[3] より, \(t = \dfrac{5}{2} \pi \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} \pi\)
このとき, \(\angle \text{AOR} = \dfrac{\pi}{3}\) なので[1]より, \(\angle \text{AOP} = \dfrac{4}{3}\pi\)
ゆえに \[ m \cdot \dfrac{5}{6} \pi = \left( \dfrac{4}{3} +2l \right) \pi \Longleftrightarrow m = \dfrac{4}{5}(2+3l) \quad ( l \text{は整数} ) \] \(1 \leqq m \leqq 10\) なので \[ m = 4 \]4* \(k=3\) のとき
[3] より, \(t = \dfrac{7}{2} \pi \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{6} \pi\)
このとき, \(\angle \text{AOR} = -\dfrac{\pi}{3}\) なので[1]より, \(\angle \text{AOP} = \dfrac{2}{3}\pi\)
ゆえに \[ m \cdot \dfrac{7}{6} \pi = \left( \dfrac{2}{3} +2l \right) \pi \Longleftrightarrow m = \dfrac{4}{7}(1+3l) \quad ( l \text{は整数} ) \] \(1 \leqq m \leqq 10\) なので \[ m = 4 \]5* \(k=4\) のとき
[3] より, \(t = \dfrac{9}{2} \pi \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{2} \pi\)
このとき, \(\angle \text{AOR} = -\pi\) なので[1]より, \(\angle \text{AOP} = 0\)
ゆえに \[ m \cdot \dfrac{3}{2} \pi = 2l \pi \Longleftrightarrow m = \dfrac{4l}{3} \quad ( l \text{は整数} ) \] \(1 \leqq m \leqq 10\) なので \[ m = 4 , 8 \]6* \(k=5\) のとき
[3] より, \(t = \dfrac{11}{2} \pi \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{11}{6} \pi\)
このとき, \(\angle \text{AOR} = \dfrac{\pi}{3}\) なので[1]より, \(\angle \text{AOP} = \dfrac{4}{3}\pi\)
ゆえに \[ m \cdot \dfrac{11}{6} \pi = \left( \dfrac{4}{3} +2l \right) \pi \Longleftrightarrow m = \dfrac{4}{11}(2+3l) \quad ( l \text{は整数} ) \] \(1 \leqq m \leqq 10\) なので \[ m = 4 \]
以上より, 求める組は \[ ( m , t ) = \underline{\left( 4, \dfrac{\pi}{6} \right) , \left( 4, \dfrac{\pi}{2} \right) , \left( 8, \dfrac{\pi}{2} \right) , \left( 4, \dfrac{5}{6}\pi \right) , \left( 4, \dfrac{7}{6}\pi \right) , \left( 4, \dfrac{3}{2}\pi \right) , \left( 8, \dfrac{3}{2}\pi \right) , \left( 4, \dfrac{11}{6}\pi \right)} \]