サイコロを \(n\) 回投げ, \(k\) 回目に出た目を \(a _ k\) とする. また, \(s _ n\) を \(s _ n = \sum\limits _ {k=1}^{n} 10^{n-k} a _ k\) で定める.

1. (1)　\(s _ n\) が \(4\) で割り切れる確率を求めよ.

2. (2)　\(s _ n\) が \(6\) で割り切れる確率を求めよ.

3. (3)　\(s _ n\) が \(7\) で割り切れる確率を求めよ.

【 解 答 】

(1)

求める確率を \(p _ n\) とおく.
\(100 = 4 \cdot 25\) なので, \(s _ n\) の下 \(2\) 桁に着目すればよい.

1. 1*　\(n = 1\) のとき
   \(4\) が出たとき条件をみたすので \[ p _ 1 = \dfrac{1}{6} \]

2. 2*　\(n \geqq 2\) のとき
   下 \(2\) 桁が, \(12 , 16 , 24 , 32 , 36 , 44 , 52 , 56, 64\) の \(9\) 通りが条件をみたすので \[ p _ n = \dfrac{9}{6^2} = \dfrac{1}{4} \]

以上より, 求める確率は \[ p _ n = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{6} & ( \ n = 1 \text{のとき} ) \\ \dfrac{1}{4} & ( \ n \geqq 2 \text{のとき} ) \end{array} \right.} \]

(2)

求める確率を \(q _ n\) とおく.

1. 1*　\(n = 1\) のとき
   \(6\) が出たとき条件をみたすので \[ q _ 1 = \dfrac{1}{6} \]

2. 2*　\(n \geqq 2\) のとき
   \(s _ {n+1} = 10 s _ n +a _ {n+1}\) であることに注意すると, \(6\) を法として \(s _ {n+1} \equiv 0\) をとくと \[\begin{align} 10 s _ n + a _ {n+1} & \equiv 0 \\ \text{∴} \quad a _ {n+1} & \equiv -4 s _ n \equiv 2 s _ n \end{align}\] したがって, \(s _ n\) に応じて, 条件をみたす \(a _ {n+1}\) は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|cccccc} s _ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline a _ {n+1} & 6 & 2 & 4 & 6 & 2 & 4 \end{array} \] それぞれの場合について, 条件をみたす目は \(1\) つずつしかないので \[ q _ n = \dfrac{1}{6} \]

以上より, 求める確率は \[ q _ n = \underline{\dfrac{1}{6}} \]

(3)

求める確率を \(r _ n\) とおく.

1. 1*　\(n = 1\) のとき
   どの目が出ても, 条件をみたさないので \[ r _ 1 = 0 \quad ... [1] \]

2. 2*　\(n \geqq 2\) のとき
   \(7\) を法として, (2) と同様に考える.
   \(s _ {n+1} \equiv 0\) をとくと \[\begin{align} 10 s _ n + a _ {n+1} & \equiv 0 \\ \text{∴} \quad a _ {n+1} \equiv -3 s _ n & \equiv 4 s _ n \end{align}\] したがって, \(s _ n\) に応じて, 条件をみたす \(a _ {n+1}\) は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccccc} s _ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline a _ {n+1} & \times & 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3 \end{array} \] したがって \[\begin{align} r _ {n+1} & = 0 \cdot r _ n +\dfrac{1}{6} ( 1-r _ n ) \\ r _ {n+1} -\dfrac{1}{7} & = -\dfrac{1}{6} \left( r _ n -\dfrac{1}{7} \right) \end{align}\] [1] も用いれば, 数列 \(\left\{ r _ n -\dfrac{1}{7} \right\}\) は, 初項 \(r _ 1 -\dfrac{1}{7} = -\dfrac{1}{7}\) , 公比 \(-\dfrac{1}{6}\) の等比数列なので \[\begin{align} r _ n -\dfrac{1}{7} & = -\dfrac{1}{7} \left( \dfrac{1}{6} \right)^{n-1} \\ \text{∴} \quad r _ n & = \dfrac{1}{7} \left\{ 1 -\left( \dfrac{1}{6} \right)^{n-1} \right\} \end{align}\]

以上より, 求める確率は \[ r _ n = \underline{\dfrac{1}{7} \left\{ 1 -\left( \dfrac{1}{6} \right)^{n-1} \right\}} \]