四面体 OABC において, \(4\) つの面はすべて合同であり, \(\text{OA} = 3\) , \(\text{OB} = \sqrt{7}\) , \(\text{OC} = 2\) であるとする. また \(3\) 点 O , A , B を含む平面を \(L\) とする.

1. (1)　点 C から平面 \(L\) におろした垂線の足を H とおく. \(\overrightarrow{\text{OH}}\) を \(\overrightarrow{\text{OA}}\) と \(\overrightarrow{\text{OB}}\) を用いて表せ.

2. (2)　\(0 \lt t \lt 1\) をみたす実数 \(t\) に対して, 線分 OA , OB の各々を \(t : (1-t)\) に内分する点をそれぞれ \(\text{P} {} _ t , \text{Q} {} _ t\) を通り, 平面 \(L\) に垂直な平面を \(M\) とするとき, 平面 \(M\) による四面体 OABC の切り口の面積 \(S(t)\) を求めよ.

3. (3)　\(t\) が \(0 \lt t \lt 1\) の範囲を動くとき, \(S(t)\) の最大値を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) とおく.
条件より \[ \text{OA} = \text{BC} = 3 , \ \text{OB} = \text{CA} = \sqrt{7} , \ \text{OC} = \text{AB} = 2 \] したがって,　\(\left| \overrightarrow{a} \right| = 3\) , \(\left| \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{7}\) , \(\left| \overrightarrow{c} \right| = 2\) .
さらに \[\begin{align} \left| \overrightarrow{\text{BC}} \right|^2 & = \left| \overrightarrow{c} \right|^2 -2 \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} +\left| \overrightarrow{b} \right|^2 \\ & = 4 -2\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} +7 = 9 \\ \text{∴} & \quad \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 1 \end{align}\] \[\begin{align} \left| \overrightarrow{\text{CA}} \right|^2 & = \left| \overrightarrow{a} \right|^2 -2 \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} +\left| \overrightarrow{c} \right|^2 \\ & = 9 -2\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} +4 = 7 \\ \text{∴} & \quad \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 3 \end{align}\] \[\begin{align} \left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|^2 & = \left| \overrightarrow{b} \right|^2 -2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +\left| \overrightarrow{a} \right|^2 \\ & = 7 -2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +9 = 4 \\ \text{∴} & \quad \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 6 \end{align}\] \(\overrightarrow{\text{OH}} = x \overrightarrow{a} +y \overrightarrow{b}\) とおくと, \(\text{CA} \perp \text{OA}\) , \(\text{CA} \perp \text{OA}\) なので \[\begin{align} \overrightarrow{\text{CH}} \cdot \overrightarrow{\text{OA}} & = \left( x \overrightarrow{a} +y \overrightarrow{b} -\overrightarrow{c} \right) \cdot \overrightarrow{a} \\ & = 9x +6y -3 = 0 \\ \text{∴} & \quad 3x +2y = 1 \ ... [1] \end{align}\] \[\begin{align} \overrightarrow{\text{CH}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} & = \left( x \overrightarrow{a} +y \overrightarrow{b} -\overrightarrow{c} \right) \cdot \overrightarrow{b} \\ & = 6x +7y -1 = 0 \\ \text{∴} & \quad 6x +7y = 1 \ ... [2] \end{align}\] [1] [2] より \[ x = \dfrac{5}{9}, \quad y = -\dfrac{1}{3} \] よって \[ \overrightarrow{\text{OH}} = \underline{\dfrac{5}{9} \overrightarrow{\text{OA}} -\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\text{OB}}} \]

(2)

(1) の結果より \[ \overrightarrow{\text{OH}} = \dfrac{5\overrightarrow{a} -3\overrightarrow{b}}{9} = \dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{5\overrightarrow{a} -3\overrightarrow{b}}{2} \] BA を \(5 : 3\) に外分する点を D とすれば, H は OD を \(2 : 7\) に内分する点となる.

1. 1*　\(t = \dfrac{2}{9}\) のとき \[\begin{align} \left| \overrightarrow{\text{CH}} \right|^2 & = \left| \dfrac{5}{9} \overrightarrow{a} -\dfrac{1}{3} \overrightarrow{b} -\overrightarrow{c} \right|^2 \\ & = \dfrac{25}{81} \cdot 9 +\dfrac{1}{9} \cdot 7 +4 -2 \cdot \dfrac{5}{27} \cdot 6 -2 \cdot \dfrac{5}{9} \cdot 3 +2 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot 1 \\ & = \dfrac{25}{9} +\dfrac{7}{9} +4 -\dfrac{20}{9} -\dfrac{30}{9} +\dfrac{2}{3} \\ & = \dfrac{8}{3} \\ \text{∴} & \quad \text{CH} = \dfrac{2 \sqrt{6}}{3} \end{align}\] また \[ \text{P} _ {\frac{2}{9}}\text{Q} _ {\frac{2}{9}} = 2 \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{4}{9} \] したがって \[ S\left( \dfrac{2}{9} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{2 \sqrt{6}}{3} = \dfrac{4 \sqrt{6}}{27} \]

2. 2*　\(0 \lt t \lt \dfrac{2}{9}\) のとき
   切り口と OC の交点 \(\text{R} {} _ t\) は, OC を \(t : \left( \dfrac{2}{9} -t \right) = 9t : (2-9t)\) に内分する.
   切り口 \(\text{P} {} _ t\text{Q} {} _ t\text{R} {} _ t\) は三角形で \[\begin{align} \text{P} _ t\text{Q} _ t & = t \text{AB} = 2t \\ ( \text{高さ} ) & = \dfrac{9t}{2} \text{CH} = 3\sqrt{6} t \end{align}\] したがって \[ S(t) = \dfrac{1}{2} \cdot 2t \cdot 3\sqrt{6} t = 3\sqrt{6} t^2 \]

3. 3*　\(\dfrac{2}{9} \lt t \lt 1\) のとき
   切り口と BC , AC の交点 \(\text{S} {} _ t\) , \(\text{T} {} _ t\) は, それぞれを \(\left( t -\dfrac{2}{9} \right) : (1-t) = (9t-2) : 9(1-t)\) に内分する.
   切り口 \(\text{P} {} _ t \text{Q} {} _ t \text{S} {} _ t \text{T} {} _ t\) は台形で, \[\begin{align} \text{P} {} _ t \text{Q} {} _ t & = 2t \\ \text{S} {} _ t \text{T} {} _ t & = \dfrac{9t-2}{7} \text{AB} = \dfrac{2}{7} ( 9t-2 ) \\ ( \text{高さ} ) & = \left( 1 -\dfrac{9t-2}{7} \right) \text{CH} = \dfrac{6 \sqrt{6}}{7} ( 1-t ) \end{align}\] したがって \[\begin{align} S(t) & = \dfrac{1}{2} \cdot \left\{ 2t +\dfrac{2}{7} ( 9t-2 ) \right\} \cdot \dfrac{6 \sqrt{6}}{7} ( 1-t ) \\ & = \dfrac{4}{7} ( 8t-1 ) \cdot \dfrac{3 \sqrt{6}}{7} ( 1-t ) \\ & = \dfrac{12 \sqrt{6}}{49} ( 8t-1 ) ( 1-t ) \end{align}\]

以上より \[ S(t) = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 3\sqrt{6} t^2 & \ \left( 0 \lt t \leqq \dfrac{2}{9} \text{のとき} \right) \\ \dfrac{12 \sqrt{6}}{49} ( 8t-1 ) ( 1-t ) & \ \left( \dfrac{2}{9} \lt t \lt 1 \text{のとき} \right) \end{array} \right. } \]

(3)

\(S(t) = \dfrac{12 \sqrt{6}}{49} f(x)\) となる \(f(x)\) について増減を考えればよい.

1. 1*　\(0 \lt t \leqq \dfrac{2}{9}\) のとき \[ f(t) = \dfrac{49}{4} t^2 \]

2. 2*　\(\dfrac{2}{9} \lt t \lt 1\) のとき \[\begin{align} f(t) & = ( 8t-1 ) ( 1-t ) \\ & = -8t^2 +9t -1 \\ & = -8 \left( t -\dfrac{9}{16} \right)^2 +\dfrac{49}{32} \end{align}\]

以上より \(0 \lt t \lt 1\) における \(f(x)\) のグラフは下図.

したがって, \(f(x)\) の最大値は \[ f \left( \dfrac{9}{16} \right) = \dfrac{49}{32} \] よって, 求める最大値は \[ S \left( \dfrac{9}{16} \right) = \dfrac{12 \sqrt{6}}{49} \cdot \dfrac{49}{32} = \underline{\dfrac{3 \sqrt{6}}{8}} \]