\(x\) を正の実数とする. 座標平面上の \(3\) 点A \(( 0 , 1 )\) , B \(( 0 , 2 )\) , P \(( x , x )\) をとり, △APBを考える. \(x\) の値が変化するとき, \(\angle \text{APB}\) の最大値を求めよ.
【 解 答 】
\(\angle \text{APB} = \theta\) とおく.
直線 AP, BP が \(x\) 軸正方向となす角を \(\theta _ 1 , \theta _ 2\) とおくと,
\[
\tan \theta _ 1 = \dfrac{x-1}{x} , \quad \tan \theta _ 2 = \dfrac{x-2}{x}
\]
\(x \gt 0\) なので
\[
-\dfrac{\pi}{2} \lt \theta _ 1 \lt \theta _ 2 \lt \dfrac{\pi}{4}
\]
したがって, \(\theta = \theta _ 1 -\theta _ 2\) と表せる.
\[\begin{align}
\tan \theta & = \tan ( \theta _ 1 -\theta _ 2 ) = \dfrac{\dfrac{x-1}{x} -\dfrac{x-2}{x}}{1 +\dfrac{x-1}{x} \cdot \dfrac{x-2}{x}} \\
& = \dfrac{x}{x^2 +(x-2)(x-1)} = \dfrac{x}{2x^2 -3x +2} \\
& = \dfrac{1}{2 \left( x +\dfrac{1}{x} \right) -3} \quad ... [ \text{A} ]
\end{align}\]
ここで \(x \gt 0\) なので相加相乗平均の関係より
\[
x +\dfrac{1}{x} \leqq 2 \sqrt{x \cdot \dfrac{1}{x}} = 2
\]
等号成立は
\[\begin{align}
x & = \dfrac{1}{x} \\
\text{∴} \quad x & = 1
\end{align}\]
これを用いると,
\[
[ \text{A} ] \geqq \dfrac{1}{2 \cdot 2 -3} = 1
\]
このとき
\[
\theta = \dfrac{\pi}{4}
\]
ゆえに \( x = 1\) のとき, \(\angle \text{APB}\) は最大値 \(\underline{45^{\circ}}\) をとる.