\(a\) を正の実数とする. 座標平面において曲線 \(y = \sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \pi \right)\) と \(x\) 軸とで囲まれた図形の面積を \(S\) とし, 曲線 \(y = \sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)\) , 曲線 \(y = a \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)\) および \(x\) 軸とで囲まれた図形の面積を \(T\) とする. このとき, \(S : T = 3 : 1\) となるような \(a\) の値を求めよ.

【 解 答 】

\[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ 0^{\pi} \sin x \, dx \\ & = \left[ -\cos x \right] _ 0^{\pi} = 1 -(-1) = 2 \\ \text{∴} \quad T & = \dfrac{S}{3} = \dfrac{2}{3} \quad ... [1] \end{align}\] \(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) における \(y = \sin x\) と \(y = a \cos x\) の交点の \(x\) 座標を \(\alpha\) とおくと \[\begin{align} \sin \alpha & = a \cos \alpha \\ \text{∴} \quad a & = \tan \alpha \end{align}\] \(0 \leqq \alpha \leqq \dfrac{\pi}{2}\) なので \[ \sin \alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}, \quad \cos \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}} \quad ... [2] \] \[\begin{align} T & = \displaystyle\int _ 0^{\alpha} \sin x \, dx +\displaystyle\int _ {\alpha}^{\frac{\pi}{2}} a \cos x \, dx \\ & = \left[ -\cos x \right] _ 0^{\alpha} + a \left[ \sin x \right] _ {\alpha}^{\frac{\pi}{2}} \\ & = 1 -\cos \alpha +a \left( 1 -\sin \alpha \right) \\ & = 1 -\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}} +a \left( 1 -\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}} \right) \quad ( \ \text{∵} \ [2] \ ) \\ & = 1 +a -\sqrt{a^2+1} \end{align}\] [1] より \[\begin{align} 1 +a -\sqrt{a^2+1} & = \dfrac{2}{3} \\ a +\dfrac{1}{3} & = \sqrt{a^2+1} \end{align}\] 辺々平方して \[\begin{align} \left( a +\dfrac{1}{3} \right)^2 & = a^2+1 \\ \dfrac{2}{3} a +\dfrac{1}{9} & = 1 \\ \text{∴} \quad a & = \underline{\dfrac{4}{3}} \end{align}\]