座標空間における次の $3$ つの直線 $l , m , n$ を考える：
- $l$ は点A $( 1 , 0 , -2 )$ を通り, ベクトル $\overrightarrow{u} = ( 2 , 1 , -1 )$ に平行な直線である.
- $m$ は点B $( 1 , 2 , -3 )$ を通り, ベクトル $\overrightarrow{v} = ( 1 , -1 , 1 )$ に平行な直線である.
- $n$ は点C $( 1 , -1 , 0 )$ を通り, ベクトル $\overrightarrow{w} = ( 1 , 2 , 1 )$ に平行な直線である.
P を $l$ 上の点として, P から $m , n$ へ下ろした垂線の足をそれぞれ Q , R とする. このとき, $\text{PQ}^2 +\text{PR}^2$ を最小にするような P と, そのときの $\text{PQ}^2 +\text{PR}^2$ を求めよ.
【 解 答 】
条件より, 実数 $p , q , r$ を用いて
$$\begin{align}
\overrightarrow{\text{OP}} & = \overrightarrow{\text{OA}} +p \overrightarrow{u} = \left( \begin{array}{c} 2p+1 \\ p \\ -p-2 \end{array} \right) , \\
\overrightarrow{\text{OQ}} & = \overrightarrow{\text{OB}} +q \overrightarrow{v} = \left( \begin{array}{c} q+1 \\ -q+2 \\ q-3 \end{array} \right) , \\
\overrightarrow{\text{OR}} & = \overrightarrow{\text{OC}} +r \overrightarrow{w} = \left( \begin{array}{c} r+1 \\ 2r-1 \\ r \end{array} \right)
\end{align}$$
と表せるので
$$
\overrightarrow{\text{PQ}} = \left( \begin{array}{c} -2p+q \\ -p-q+2 \\ p+q-1 \end{array} \right) , \quad \overrightarrow{\text{PR}} = \left( \begin{array}{c} -2p+r \\ -p+2r-1 \\ p+r+2 \end{array} \right) \quad ... \maru{1}
$$
$\overrightarrow{\text{PQ}} \perp \overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{\text{PR}} \perp \overrightarrow{w}$ なので
$$\begin{align}
\overrightarrow{\text{PQ}} \cdot \overrightarrow{v} & = ( -2p+q ) -( -p-q+2 ) +( p+q-1 ) \\
& = 3q -3 = 0 \\
& \therefore \quad q = 1 , \\
\overrightarrow{\text{PR}} \cdot \overrightarrow{w} & = ( -2p+r ) +2( -p+2r-1 ) +( p+r+2 ) \\
& = -3p +6r = 0 \\
& \therefore \quad p = 2r
\end{align}$$
$\maru{1}$ に代入すると
$$
\overrightarrow{\text{PQ}} = \left( \begin{array}{c} -4r+1 \\ -2r+1 \\ 2r \end{array} \right) , \quad \overrightarrow{\text{PR}} = \left( \begin{array}{c} -3r \\ -1 \\ 3r+2 \end{array} \right)
$$
したがって
$$\begin{align}
\text{PQ}^2 +\text{PR}^2 & = (-4r+1)^2 +(-2r+1)^2 +(2r)^2 \\
& \qquad +(-3r)^2 +(-1)^2 +(3r+2)^2 \\
& = 42 r^2 +7
\end{align}$$
これは, $r = 0$ のときに最小となる.
よって, $\text{PQ}^2 +\text{PR}^2$ は $\underline{\text{P} \ ( 1, 0, -2 )}$ のとき, 最小値 $\underline{7}$ をとる.