実数の定数 $a , b$ に対して, 関数 $f(x)$ を $$ f(x) = \dfrac{ax +b}{x^2 +x +1} $$ で定める. すべての実数 $x$ で不等式 $$ f(x) \leqq {f(x)}^3 -2 {f(x)}^2 +2 $$ が成立するような点 $( a , b )$ の範囲を図示せよ.
【 解 答 】
$X = f(x)$ とおけば, 与えられた不等式より
$$\begin{gather}
X \leqq X^3 -2X^2 +2 \\
\quad (X+1)(X-1)(X-2) \geqq 0 \\
\therefore \quad -1 \leqq X \leqq 1 , \ 2 \leqq X
\end{gather}$$
したがって, すべての実数 $x$ について
$$
-1 \leqq f(x) \leqq 1 , \ 2 \leqq f(x) \quad ... \maru{\text{A}}
$$
となる条件を求めればよい.
ところで, $f(x)$ の分母について
$$
x^2 +x +1 = \left( x +\dfrac{1}{2} \right)^2 +\dfrac{3}{4} \gt 0 \quad ... \maru{1}
$$
なので, $f(x)$ は実数全体で連続であり,
$$
\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \pm \infty} f(x) = 0
$$
であるから, $\maru{\text{A}}$ のうち, $f(x) \geqq 2$ となることはない.
ゆえに, すべての実数 $x$ について
$$
-1 \leqq f(x) \leqq 1 \quad ... \maru{\text{B}}
$$
となる条件を求めればよい.
$\maru{\text{B}}$ より
$$\begin{align}
& -1 \leqq \dfrac{ax+b}{x^2+x+1} \leqq 1 \\
-x^2-x & -1 \leqq ax+b \leqq x^2+x+1 \quad ( \ \because \maru{1} \ ) \\
\therefore & \quad \left\{ \begin{array}{ll} x^2 +(a+1)x +b+1 \geqq 0 \quad ... \maru{2} \\ x^2 -(a-1)x -b+1 \geqq 0 \quad ... \maru{3} \end{array} \right.
\end{align}$$
$\maru{2}$ が常に成立する条件は, 判別式 $D _ 1$ について
$$\begin{align}
D _ 1 & = (a+1)^2 -4(b+1) \leqq 0 \\
\therefore \quad b & \geqq \dfrac{(a+1)^2}{4} -1 \quad ... \maru{4}
\end{align}$$
$\maru{3}$ が常に成立する条件は, 判別式 $D _ 2$ について
$$\begin{align}
D _ 2 & = (a-1)^2 +4(b-1) \leqq 0 \\
\therefore \quad b & \leqq -\dfrac{(a-1)^2}{4} +1 \quad ... \maru{5}
\end{align}$$
よって, 求める $(a,b)$ の条件は $\maru{4}$ かつ $\maru{5}$ であり, 図示すると下図斜線部（境界含む）となる.
