実数 \(a , b , c , d , e\) に対して, 座標平面上の点 A \((a,b)\) , B \((c,d)\) , C \((e,0)\) をとる. ただし点 A と点 B はどちらも原点O \((0,0)\) とは異なる点とする. このとき, 実数 \(s , t\) で \[ s \overrightarrow{\text{OA}} +t \overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{\text{OC}} \] を満たすものが存在するための, \(a , b , c , d , e\) についての必要十分条件を求めよ.

【 解 答 】

条件より \[ s \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{c} c \\ d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} e \\ 0 \end{array} \right) \\ \text{∴} \quad \left\{ \begin{array}{ll} as+ct = e & \quad ... [1] \\ bs+dt = 0 & \quad ... [2] \end{array} \right. \ . \] なので, [1] [2] をみたす \(s , t\) が存在する条件を求めればよい.
\([1] \times d - [2] \times c\) より \[ ( ad -bc ) s = de \quad ... [3] \ . \] \([1] \times b - [2] \times a\) より \[ -( ad -bc ) t = be \quad ... [4] \ . \]

1. 1*　\(ad -bc \neq 0\) のとき
   [3] [4] より \[ s = \dfrac{de}{ad -bc} , \quad t = -\dfrac{be}{ad -bc} \ . \] ゆえに, 実数 \(s , t\) は存在する.

2. 2*　\(ad -bc = 0 \quad ... [5]\) のとき
   [3] [4] より \[ de = be = 0 \quad ... [6] \ . \]

   1. (ア)　\(e \neq 0\) のとき
      [6] より \[ b = d = 0 \ . \] このとき, [2] は 実数 \(s , t\) によらず成立する.
      点A, Bはともに原点ではないことから, \(a \neq 0\) , \(c \neq 0\) なので, [1] より, 任意の実数 \(s\) に対して \[ t = \dfrac{e -as}{c} \ . \] ゆえに, 実数 \(s , t\) は存在する.

   2. (イ)　\(e=0\) のとき
      \(a , b , c , d\) に関わらず \[ s = t = 0 \] が, [1] [2] をともにみたす.

   ゆえに, 実数 \(s , t\) は存在する.

以上より, 求める条件は \[ \underline{ad-bc \neq 0 \ \text{または} \ b=d=0 \ \text{または} \ e=0} \ . \]