\(\textstyle\sum\limits _ {n=1}^{40000} \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) の整数部分を求めよ.
【 解 答 】
\(S = \textstyle\sum\limits _ {n=1}^{40000} \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) とおく.
関数 \(y = \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) は \(x \gt 0\) において単調減少なので
\[
\underline{\displaystyle\int _ 0^{40000} \dfrac{dx}{\sqrt{x+1}}} _ {[1]} \lt S \lt 1 +\underline{\displaystyle\int _ 1^{40000} \dfrac{dx}{\sqrt{x}}} _ {[2]} \quad ... [3] \ .
\]
ここで
\[\begin{align}
[1] & = \left[ 2 \sqrt{x+1} \right] _ 0^{40000} \\
& = 2 \sqrt{40001} -2 \gt 398 \\
[2] & = \left[ 2 \sqrt{x} \right] _ 1^{40000} \\
& = 400 -2 = 398 \ .
\end{align}\]
したがって, [3] とあわせて
\[
398 \lt S \lt 399 \ .
\]
よって, \(S\) の整数部分は, \(\underline{389}\)