さいころを繰り返し投げ, \(n\) 回目に出た目を \(X _ n\) とする. \(n\) 回目までに出た目の積 \(X _ 1 X _ 2 \cdots X _ n\) を \(T _ n\) で表す. \(T _ n\) を \(5\) で割った余りが \(1\) である確率を \(p _ n\) とし, 余りが \(2, 3, 4\) のいずれかである確率を \(q _ n\) とする.
(1) \(p _ n +q _ n\) を求めよ.
(2) \(p _ {n+1}\) を \(p _ n\) と \(n\) を用いて表せ.
(3) \(r _ n = \left( \dfrac{6}{5} \right)^n p _ n\) とおいて \(r _ n\) を求めることにより, \(p _ n\) を \(n\) の式で表せ.
【 解 答 】
(1)
\(n\) 回目まで, \(5\) が出なければよいので \[ p _ n +q _ n = \underline{\left( \dfrac{5}{6} \right)^n} \ . \]
(2)
\(T _ n\) を \(5\) で割った余りを \(R _ n\) とおく.
\(R _ n = 1 , 2 , 3 , 4\) のそれぞれについて, \(X _ {n+1}\) に応じて \(R _ {n+1} = 1\) となる場合を調べると, 下表のようになる.
\[
\begin{array}{c|cccccc} X _ {n+1} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline R _ n = 1 & \circ & - & - & - & - & \circ \\ \hline R _ n = 2 & - & - & \circ & - & - & - \\ \hline R _ n = 3 & - & \circ & - & - & - & - \\ \hline R _ n = 4 & - & - & - & \circ & - & - \end{array}
\]
ゆえに
\[\begin{align}
p _ {n+1} & = \dfrac{1}{3} p _ n +\dfrac{1}{6} \left\{ \left( \dfrac{5}{6} \right)^n -p _ n \right\} \\
& = \underline{\dfrac{1}{6} p _ n +\dfrac{1}{6} \left( \dfrac{5}{6} \right)^n} \ .
\end{align}\]
(3)
(2) の結果に対して, 両辺に \(\left( \dfrac{6}{5} \right)^{n+1}\) をかけると \[\begin{align} r _ {n+1} & = \dfrac{1}{5} r _ n +\dfrac{1}{5} \\ \text{∴} \quad r _ {n+1} -\dfrac{1}{4} & = \dfrac{1}{5} \left( r _ n -\dfrac{1}{4} \right) \ . \end{align}\] したがって, 数列 \(\left\{ r _ n -\dfrac{1}{4} \right\}\) は, 初項 \(r _ 1 -\dfrac{1}{4} = \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{20}\) , 公比 \(\dfrac{1}{5}\) の等比数列なので \[\begin{align} r _ n -\dfrac{1}{4} & = \dfrac{3}{20} \left( \dfrac{1}{5} \right)^{n-1} \\ \text{∴} \quad r _ n & = \dfrac{1}{4} +\dfrac{3}{4} \left( \dfrac{1}{5} \right)^n \ . \end{align}\] よって \[ p _ n = \left( \dfrac{5}{6} \right)^n r^n = \underline{\dfrac{1}{4} \left( \dfrac{5}{6} \right)^n +\dfrac{3}{4} \left( \dfrac{1}{6} \right)^n} \ . \]