\(3\) 以上の奇数 \(n\) に対して, \(a _ n\) と \(b _ n\) を次のように定める. \[ a _ n = \dfrac{1}{6} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} (k-1) k (k+1) , \ \ b _ n = \dfrac{n^2-1}{8} \]
(1) \(a _ n\) と \(b _ n\) はどちらも整数であることを示せ.
(2) \(a _ n -b _ n\) は \(4\) の倍数であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(3\) つの連続する整数には, \(2\) の倍数と \(3\) の倍数が少なくとも \(1\) つずつ含まれているので
\[
(k-1) k (k+1) \ \text{は} \ 6 \ \text{の倍数である. } \quad ... [1]
\]
したがって, \((k-1) k (k+1)\) の和も, \(6\) の倍数だから, \(a _ n\) は整数である.
\(3\) 以上の奇数は \(4m \pm 1 \quad ( m \text{は自然数} )\) と表せるので
\[
b _ n = \dfrac{\left( 4m \pm 1 \right)^2 -1}{8} = 2 m^2 \pm m
\]
よって, \(b _ n\) は整数である.
(2)
\(f(k) = (k-2) (k-1) k (k+1)\) とおけば \[\begin{align} a _ n & = \dfrac{1}{6} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} \dfrac{1}{4} \left( f(k+1) -f(k) \right) \\ & = \dfrac{1}{24} \left( f(n) - f(1) \right) \\ & = \dfrac{1}{24} (n-2) (n-1) n (n+1) \end{align}\] したがって \[\begin{align} a _ n - b _ n & = \dfrac{1}{24} (n-1) (n+1) \left\{ n (n-2) -3 \right\} \\ & = \dfrac{1}{24} (n-3) (n-1) (n+1)^2 \end{align}\]
1* \(n = 4m+1\) のとき \[\begin{align} a _ n - b _ n & = \dfrac{1}{24} (4m-2) 4m (4m+2)^2 \\ & = \dfrac{2}{3} \underline{(2m-1) 2m (2m+1)^2} _ {[2]} \end{align}\] [1] より, 下線部 [2] は \(6\) の倍数なので, \(a _ n - b _ n\) は \(4\) の倍数である.
2* \(n = 4m-1\) のとき \[\begin{align} a _ n - b _ n & = \dfrac{1}{24} (4m-4) (4m-2) (4m)^2 \\ & = \dfrac{2}{3} \underline{(2m-2) (2m-1) (2m)^2} _ {[3]} \end{align}\] [1] より, 下線部 [3] は \(6\) の倍数なので, \(a _ n - b _ n\) は \(4\) の倍数である.
1* 2*より, 題意は示された.