\(a \gt 1\) とし, 次の不等式を考える. \[ \text{(＊)} \quad \dfrac{e^t -1}{t} \geqq e^{\frac{t}{a}} \]
(1) \(a = 2\) のとき, すべての \(t \gt 0\) に対して上の不等式 (＊) が成り立つことを示せ.
(2) すべての \(t \gt 0\) に対して上の不等式 (＊) が成り立つような \(a\) の範囲を求めよ.
【 解 答 】
\(t \gt 0\) において, (＊) を変形すると
\[\begin{align}
e^t -1 & \geqq t e^{\frac{t}{a}} \\
\text{∴} \quad e^t -t e^{\frac{t}{a}} -1 & \geqq 0 \quad ... [ \text{A} ]
\end{align}\]
したがって, (＊) が成立することを示すには, [A] が成立することを示せばよい.
[A] の左辺を \(f(t)\) とおくと
\[
f(0) = 1 -0 -1 = 0
\]
なので
\[
f(t) \ \text{が} \ t \gt 0 \ \text{において, 単調増加である} \quad ... [ \text{B} ]
\]
であれば, [A] が成立する.
\[\begin{align}
f'(t) & = e^t -e^{\frac{t}{a}} -\dfrac{t}{a} e^{\frac{t}{a}} \\
& = e^{\frac{t}{a}} \underline{\left( e^{\frac{(a-1) t}{a}} -\dfrac{t}{a} -1 \right)} _ {[1]}
\end{align}\]
下線部 [1] を \(g(t)\) とおくと, \(e^{\frac{t}{a}} \gt 0\) なので, \(f'(t)\) と \(g(t)\) の正負は一致する.
\[
g(0) = 1 -0 -1 = 0
\]
したがって
\[
g(t) \ \text{が} \ t \gt 0 \ \text{において, 単調増加である} \quad ... [ \text{C} ]
\]
であれば, [B] が成立する.
\[\begin{align}
g'(t) & = \dfrac{a-1}{a} e^{\frac{(a-1) t}{a}} -\dfrac{1}{a} \\
& = \dfrac{1}{a} \left\{ (a-1) e^{\frac{(a-1) t}{a}} -1 \right\}
\end{align}\]
(1)
\(a = 2\) のとき \[ g'(t) = \dfrac{1}{2} \left( e^{\frac{t}{2}} -1 \right) \geqq 0 \] よって, [C] が成立するので, (＊) も成立することが示された.
(2)
\(a\) の値で場合分けして考える.
1* \(a \geqq 2\) のとき
\(a-1 \geqq 1\) なので \[ g'(t) = \dfrac{1}{a} \left\{ (a-1) e^{\frac{(a-1) t}{a}} -1 \right\} \geqq 0 \] したがって, [C] が成立し, (＊) も成立する.2* \(1 \lt a \lt 2\) のとき
\(g'(t) = 0\) をとくと \[\begin{align} e^{\frac{(a-1) t}{a}} & = \dfrac{1}{a-1} \\ \dfrac{a-1}{a} t & = \log \dfrac{1}{a-1} \\ \text{∴} \quad t & = \dfrac{a}{a-1} \log \dfrac{1}{a-1} \end{align}\] \(\alpha = \dfrac{a}{a-1} \log \dfrac{1}{a-1}\) とおけば, \(g(t)\) の増減は下表のとおり. \[ \begin{array}{c|ccccc} t & (0) & \cdots & \alpha & \cdots & ( \infty ) \\ \hline g'(t) & & - & 0 & + & \\ \hline g(t) & ( 0 ) & \searrow & \text{最小} & \nearrow & ( \infty ) \\ \end{array} \] したがって, \(g( \beta ) = 0 \quad ( \alpha \lt \beta )\) をみたす実数 \(\beta\) が存在する.
このとき \[ f'( \beta ) = 0 \] なので, \(f(t)\) の増減は下表のとおり. \[ \begin{array}{c|cccc} t & (0) & \cdots & \beta & \cdots \\ \hline f'(t) & & - & 0 & + \\ \hline f(t) & ( 0 ) & \searrow & \text{最小} & \nearrow \\ \end{array} \] ゆえに, \(t \gt 0\) において, [A] は成立せず, (＊) も成立しない.
1* 2*より, 求める \(a\) の値の範囲は \[ \underline{a \geqq 2} \]