\(1\) 個のさいころを投げて, 出た目が \(1\) か \(2\) であれば行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right)\) を, 出た目が \(3\) か \(4\) であれば行列 \(B = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)\) を, 出た目が \(5\) か \(6\) であれば行列 \(C = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) を選ぶ. そして, 選んだ行列の表す \(1\) 次変換によって \(xy\) 平面上の点 R を移すという操作を行う. 点 R は最初は点 \((0,1)\) にあるものとし, さいころを投げて点 R を移す操作を \(n\) 回続けて行ったときに点 R が点 \((0,1)\) にある確率を \(p _ n\) , 点 \((0,-1)\) にある確率を \(q _ n\) とする.
(1) \(p _ 1 , p _ 2\) と \(q _ 1 , q _ 2\) を求めよ.
(2) \(p _ n + q _ n\) と \(p _ {n-1} + q _ {n-1}\) の関係式を求めよ. また, \(p _ n - q _ n\) と \(p _ {n-1} - q _ {n-1}\) の関係式を求めよ.
(3) \(p _ n\) を \(n\) を用いて表せ.
【 解 答 】
A \(( 0 , 1 )\) , B \(( 0 , -1 )\) , C \(( 1 , 0 )\) , D \(( -1 , 0 )\) とおく. \[\begin{align} A \left( \begin{array}{c} 0 \\ \pm 1 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ \pm 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) \\ B \left( \begin{array}{c} 0 \\ \pm 1 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ \pm 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \mp 1 \\ 0 \end{array} \right) \\ C \left( \begin{array}{c} 0 \\ \pm 1 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ \pm 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \pm 1 \end{array} \right) \end{align}\] また \[\begin{align} A \left( \begin{array}{c} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \mp 1 \end{array} \right) \\ B \left( \begin{array}{c} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \pm 1 \end{array} \right) \\ C \left( \begin{array}{c} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \mp 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{align}\] したがって, さいころを振ると点 R は, 点 A ～ D 間を移動し, それぞれの点から移動する確率は下図の通りとなる.
(1)
はじめ, 点 R は点 A にあるので \[ p _ 1 = \underline{\dfrac{1}{3}} , \quad q _ 1 = \underline{0} \] また \[\begin{align} p _ 2 & = 3 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \underline{\dfrac{1}{3}} \\ q _ 2 & = 2 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \underline{\dfrac{2}{9}} \end{align}\]
(2)
\(n\) 回操作後に, 点 R が点 C, D にある確率をそれぞれ \(r _ n , s _ n\) とおくと \[ p _ n +q _ n +r _ n +s _ n = 1 \quad ... [1] \] 上に書いた状態遷移より \[\begin{align} p _ n & = \dfrac{1}{3} p _ {n-1} +\dfrac{1}{3} r _ {n-1} +\dfrac{1}{3} s _ {n-1} \\ & = \dfrac{1}{3} p _ {n-1} +\dfrac{1}{3} \left( 1 -p _ {n-1} -q _ {n-1} \right) \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \\ & = \dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{3} q _ {n-1} \quad ... [2] \\ q _ n & = \dfrac{1}{3} q _ {n-1} +\dfrac{1}{3} r _ {n-1} +\dfrac{1}{3} s _ {n-1} \\ & = \dfrac{1}{3} q _ {n-1} +\dfrac{1}{3} \left( 1 -p _ {n-1} -q _ {n-1} \right) \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \\ & = \dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{3} p _ {n-1} \quad ... [3] \end{align}\] よって, [2] [3] の辺々を加減すれば \[ \underline{p _ n +q _ n = \dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{3} \left( p _ {n-1} +q _ {n-1} \right)} \quad ... [4] \\ \underline{p _ n -q _ n = \dfrac{1}{3} \left( p _ {n-1} -q _ {n-1} \right)} \quad ... [5] \]
(3)
[4] を変形すると \[ p _ n + q _ n -\dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{3} \left( p _ {n-1} +q _ {n-1} -\dfrac{1}{2} \right) \] なので, 数列 \(\left\{ p _ n +q _ n -\dfrac{1}{2} \right\}\) は, 初項 \(p _ 0 +q _ 0 -\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\) , 公比 \(-\dfrac{1}{3}\) の等比数列, すなわち \[ p _ n +q _ n -\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \left( -\dfrac{1}{3} \right)^n \\ \text{∴} \quad p _ n +q _ n = \dfrac{1}{2} \left( -\dfrac{1}{3} \right)^n +\dfrac{1}{2} \quad ... [6] \] また, [5] より, 数列 \(\left\{ p _ n -q _ n \right\}\) は, 初項 \(p _ 0 -q _ 0 = 1\) , 公比 \(\dfrac{1}{3}\) の等比数列, すなわち \[ p _ n -q _ n = \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \quad ... [7] \] よって, [6] [7] を辺々加えて, \(\dfrac{1}{2}\) 倍すれば \[ p _ n = \underline{\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n +\dfrac{1}{4} \left( -\dfrac{1}{3} \right)^n +\dfrac{1}{4}} \]