\(1 \lt a \lt 2\) とする. \(3\) 辺の長さが \(\sqrt{3} , a , b\) である鋭角三角形の外接円の半径が \(1\) であるとする. このとき \(a\) を用いて \(b\) を表せ.
【 解 答 】
長さ \(a , b , \sqrt{3}\) の各辺の対角を \(A , B , C\) とおく.
正弦定理より
\[\begin{align}
\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} & = \dfrac{\sqrt{3}}{\sin C} = 2 \\
\text{∴} \quad \sin A = \dfrac{a}{2} , \ \sin B & = \dfrac{b}{2} , \ \sin C = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad ... [1]
\end{align}\]
\(C\) は鋭角なので
\[
C = 60^{\circ}
\]
したがって, \(B = 120^{\circ} - A\) なので
\[\begin{align}
\sin B & = \sin \left( 120^{\circ} - A \right) \\
& = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos A + \dfrac{1}{2} \sin A \quad ... [2]
\end{align}\]
\(A\) は鋭角なので, [1] より
\[\begin{align}
\cos A & = \sqrt{1 -\sin^2 A} = \sqrt{1 -\left( \dfrac{a}{2} \right)^2} \\
& = \dfrac{\sqrt{4-a^2}}{2}
\end{align}\]
これと [1] を [2] に代入して
\[\begin{align}
\dfrac{b}{2} & = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{4-a^2}}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{a}{2} \\
\text{∴} \quad b & = \underline{\dfrac{a +\sqrt{3 \left( 4-a^2 \right)}}{2}}
\end{align}\]