点 P \((t,s)\) が \(s = \sqrt{2} t^2 -2t\) を満たしながら \(xy\) 平面上を動くとき, 点 P を原点を中心として \(45^{\circ}\) 回転した点 Q の軌跡として得られる曲線を \(C\) とする. さらに, 曲線 \(C\) と \(x\) 軸で囲まれた図形を \(D\) とする.
(1) 点 Q \((x,y)\) の座標を, \(t\) を用いて表せ.
(2) 直線 \(y = a\) と曲線 \(C\) がただ \(1\) つ共有点を持つような定数 \(a\) の値を求めよ.
(3) 図形 \(D\) を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転して得られる回転体の体積 \(V\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
Q \(( X , Y )\) とおくと \[\begin{align} \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} \cos 45^{\circ} & -\sin 45^{\circ} \\ \sin 45^{\circ} & \cos 45^{\circ} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} t \\ s \end{array} \right) \\ & = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} t \\ \sqrt{2} t^2 -2t \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{c} -t^2 +\dfrac{3 \sqrt{2} t}{2} \\ t^2 -\dfrac{\sqrt{2} t}{2} \end{array} \right) \end{align}\] よって, 点 Q の座標は \[ \underline{\left( -t^2 +\dfrac{3 \sqrt{2} t}{2} , \ t^2 -\dfrac{\sqrt{2} t}{2} \right)} \]
(2)
\(t\) に関する \(2\) 次方程式 \(Y=a\) が \(1\) つだけもつ条件を求めればよい. \[\begin{align} t^2 -\dfrac{\sqrt{2} t}{2} & = a \\ \sqrt{2} t^2 -t -\sqrt{2} a & = 0 \end{align}\] この方程式の判別式を \(D\) とすれば, 求める条件は \[ D = 1^2 -4 \cdot \sqrt{2} \left( -\sqrt{2} a \right) = 0 \\ \text{∴} \quad a = \underline{-\dfrac{1}{8}} \]
(3)
\(D\) と \(x\) 軸が交わるときの \(t\) の値を求めると
\[\begin{align}
t^2 -\dfrac{\sqrt{2} t}{2} & = 0 \\
t \left( \sqrt{2} t -1 \right) & = 0 \\
\text{∴} \quad t = 0 , & \ \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\end{align}\]
\(t = 0\) のとき, \(X = 0\) . \(t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) のとき, \(X = 1\) .
また
\[
\dfrac{dX}{dt} = -2t +\dfrac{3 \sqrt{2}}{2}
\]
回転させる領域が \(y \lt 0\) にあることに注意すれば, 求める体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = \displaystyle\int _ {0}^{1} 2 \pi X (-Y) \, dX \\ & = 2 \pi \displaystyle\int _ {0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( -t^2 +\dfrac{3 \sqrt{2} t}{2} \right) \left( -t^2 +\dfrac{\sqrt{2} t}{2} \right) \left( -2t +\dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \right) \, dt \\ & = \dfrac{\sqrt{2} \pi}{2} \displaystyle\int _ {0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} t^2 \left( -\sqrt{2} t +3 \right) \left( -\sqrt{2} t +1 \right) \left( -2 \sqrt{2} t +3 \right) \, dt \\ & = \dfrac{\sqrt{2} \pi}{2} \displaystyle\int _ {0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( -4 \sqrt{2} t^5 +22 t^4 -18 \sqrt{2} t^3 +9 t^2 \right) \, dt \\ & = \dfrac{\sqrt{2} \pi}{2} \left[ -\dfrac{2 \sqrt{2} t^6}{3} +\dfrac{22 t^5}{5} -\dfrac{18 \sqrt{2} t^4}{4} +3 t^3 \right] _ {0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ & = \pi \left( -\dfrac{1}{12} +\dfrac{11}{20} -\dfrac{9}{8} +\dfrac{3}{4} \right) \\ & = \underline{\dfrac{11 \pi}{120}} \end{align}\]