\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) を満たす実数 \(\theta\) に対し, \(xyz\) 空間内の \(4\) 点 A \(( \cos \theta , \cos \theta , \sin \theta )\) , B \(( -\cos \theta , -\cos \theta , \sin \theta )\) , C \(( \cos \theta , -\cos \theta , -\sin \theta )\) , D \(( -\cos \theta , \cos \theta , -\sin \theta )\) を頂点とする四面体の体積を \(V( \theta )\) , この四面体の \(xz\) 平面による切り口の面積を \(S( \theta )\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(S \left( \dfrac{\pi}{6} \right)\) , \(V \left( \dfrac{\pi}{6} \right)\) をそれぞれ求めよ.
(2) \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) における \(S( \theta )\) の最大値を求めよ.
(3) \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) における \(V( \theta )\) の最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
点 A ～ D それぞれの, \(xy\) 平面について対称な点を A' ～ D' とおくと, 四面体 ABCD は, 直方体 AC'BD'-A'CB'D から, \(4\) つの三角すい A'ACD , B'BCD , C'CAB , D'DAB を除いた立体である.
したがって
\[\begin{align}
V( \theta ) & = ( 2 \cos \theta )^2 \cdot 2 \sin \theta -4 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} ( 2 \cos \theta )^2 \cdot 2 \sin \theta \\
& = \dfrac{1}{3} ( 2 \cos \theta )^2 \cdot 2 \sin \theta = \dfrac{8}{3} \cos^2 \theta \sin \theta \ .
\end{align}\]
また, \(xz\) 平面による切り口は下図斜線部となるので
\[ S( \theta ) = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cos \theta \cdot 2 \sin \theta = \sin 2 \theta \ . \] よって, \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) のとき \[\begin{align} V \left( \dfrac{\pi}{6} \right) & = \dfrac{8}{3} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \cdot \dfrac{1}{2} = \underline{1} , \\ S \left( \dfrac{\pi}{6} \right) & = \underline{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \ . \end{align}\]
(2)
\(0 \lt 2 \theta \lt \pi\) なので, 求める最大値は \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) のとき \[ \underline{1} \ . \]
(3)
\[
V( \theta ) = \dfrac{8}{3} \underline{\left( \sin \theta -\sin^3 \theta \right)} _ {[1]} \ .
\]
\(s = \sin \theta \ ( 0 \lt s \lt 1 )\) とおいて, [1] を \(f(s) = s -s^3\) とおけば, \(f(s)\) が最大のとき, \(V( \theta )\) も最大になる.
\(f(s)\) について
\[
f'(s) = 1 -3s^2 = \left( 1 -\sqrt{3} s \right) \left( 1 +\sqrt{3} s \right) \ .
\]
なので, \(f(s)\) の増減は下のようになる.
\[
\begin{array}{c|ccc} s & (0) & \cdots & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \cdots & (1) \\ \hline f'(s) & & + & 0 & - & \\ \hline f(s) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}
\]
\(f(s)\) の最大値について
\[
f \left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} -\dfrac{1}{3 \sqrt{3}} = \dfrac{2 \sqrt{3}}{9} \ .
\]
よって, \(V( \theta )\) の最大値は
\[
\dfrac{8}{3} f \left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) = \underline{\dfrac{16 \sqrt{3}}{27}} \ .
\]