\(x = t +\dfrac{1}{3t} \ \left( 0 \lt t \leqq \dfrac{1}{2} \right)\) とする.
(1) \(x\) がとり得る値の範囲を求めよ.
(2) \(x\) の方程式 \(x^2 +ax +b = 0\) が (1) の範囲に少なくとも \(1\) つの解をもつような点 \(( a , b )\) の存在範囲を図示せよ.
【 解 答 】
(1)
\(f(t) = t +\dfrac{1}{3t} \ \left( 0 \lt t \leqq \dfrac{1}{2} \right)\) とおくと
\[\begin{align}
f'(t) & = 1 -\dfrac{1}{3 t^2} \\
& = \dfrac{\left( \sqrt{3} -1 \right) \left( \sqrt{3} +1 \right)}{3 t^2} \ .
\end{align}\]
\(f'(t) = 0\) をとくと
\[
t = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \ .
\]
\(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow +0} f(t) = \infty\) であることも用いれば, \(f(t)\) の増減は下表のようになる.
\[
\begin{array}{c|ccc} t & (0) & \cdots & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \cdots & \dfrac{1}{2} \\ \hline f'(t) & & - & 0 & + & \\ \hline f(t) & ( \infty ) & \searrow & \dfrac{2}{\sqrt{3}} & \nearrow & \dfrac{7}{6} \end{array}
\]
ただし
\[\begin{align}
f \left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) & = \dfrac{1}{\sqrt{3}} +\dfrac{3}{\sqrt{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \ , \\
f \left( \dfrac{1}{2} \right) & = \dfrac{1}{2} +\dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{6} \ .
\end{align}\]
を用いた.
以上より, \(x\) のとり得る値の範囲は
\[
\underline{x \geqq \dfrac{2}{\sqrt{3}}} \ .
\]
(2)
\(g(x) = x^2 +ax +b\) とおく.
解の個数に応じて, 場合分けして考える.
1* \(1\) つの解をもつとき
条件は \[\begin{align} g \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right) & = \dfrac{4}{3} +\dfrac{2a}{\sqrt{3}} +b \leqq 0 \\ \text{∴} \quad b & \leqq -\dfrac{2a}{\sqrt{3}} -\dfrac{4}{3} \ . \end{align}\]2* \(2\) つの解（重解を含む）をもつとき
次の \(3\) つの条件 [1] ～ [3] をすべてみたせばよい.\(g(x) = 0\) の判別式 \(D\) について \[\begin{align} D = a^2 -4b & \geqq 0 \\ \text{∴} \quad b & \leqq -\dfrac{a^2}{4} \quad ... [1] \ . \end{align}\]
放物線 \(y = g(x)\) の軸 \(x = -\dfrac{a}{2}\) の位置について \[\begin{align} -\dfrac{a}{2} & \geqq \dfrac{2}{\sqrt{3}} \\ \text{∴} \quad a & \leqq -\dfrac{4}{\sqrt{3}} \quad ... [2] \ . \end{align}\]
\(g \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)\) について \[\begin{align} g \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right) & = \dfrac{4}{3} +\dfrac{2a}{\sqrt{3}} +b \geqq 0 \\ \text{∴} \quad b & \geqq -\dfrac{2a}{\sqrt{3}} -\dfrac{4}{3} \quad ... [3] \ . \end{align}\]
以上より, 求める領域は下図斜線部（境界を含む）.
【 別 解 】
(1)
\(f(t) = t +\dfrac{1}{3t} \ \left( 0 \lt t \leqq \dfrac{1}{2} \right)\) とおく.
\[
\displaystyle\lim _ {t \rightarrow +0} f(t) = \infty \ .
\]
また, 相加相乗平均の関係より
\[
f(t) \geqq 2 \sqrt{t \cdot \dfrac{1}{3t}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \ .
\]
等号成立は
\[
t = \dfrac{1}{3t} \ \text{すなわち} \ t = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \ .
\]
のときで, \(0 \lt t \leqq \dfrac{1}{2}\) に含まれている.
よって
\[
\underline{x \geqq \dfrac{2}{\sqrt{3}}} \ .
\]