下図のような平行六面体 OABC-DEFG が \(xyz\) 空間内にあり, O \(( 0 , 0 , 0 )\) , A \(( 2 , 0 , 0 )\) , C \(( 0 , 3 , 0 )\) , D \(( -1 , 0 , \sqrt{6} )\) とする. 辺 AB の中点を M とし, 辺 DG 上の点 N を \(\text{MN} = 4\) かつ \(\text{DN} \lt \text{GN}\) を満たすように定める.
(1) N の座標を求めよ.
(2) \(3\) 点 E, M, N を通る平面と \(y\) 軸との交点 P を求めよ.
(3) \(3\) 点 E, M, N を通る平面による平行六面体 OABC-DEFG の切り口の面積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[ \text{AD} = \sqrt{3^2 +6} = \sqrt{15} \ . \] M から DG に下ろした垂線の足を H とおけば, H \(\left( 0 , \dfrac{3}{2} , \sqrt{6} \right)\) であり \[ \text{MH} = \text{AD} = \sqrt{15} \ . \] \(\text{HN} = t\) とおけば, △MHN は直角三角形なので \[\begin{align} 15 +t^2 & = 4^2 \\ \text{∴} \quad t & = 1 \ . \end{align}\] \(\text{DN} \lt \text{GN}\) なので \[ \text{N} \ \underline{\left( -1 , \dfrac{1}{2} , \sqrt{6} \right)} \ . \]
(2)
四角形 EMPN は平行四辺形になるので \[ \overrightarrow{\text{MP}} = \overrightarrow{\text{EN}} = \left( -2 , \dfrac{1}{2} , 0 \right) \ . \] よって \[ \text{P} \ \underline{\left( 0 , \dfrac{3}{2} , 0 \right)} \ . \]
(3)
\[\begin{align} \overrightarrow{\text{PM}} & = \left( 2 , -\dfrac{1}{2} , 0 \right) , \\ \overrightarrow{\text{PN}} & = \left( -1 , -\dfrac{3}{2} , \sqrt{6} \right) \ . \end{align}\] なので \[\begin{align} \left| \overrightarrow{\text{PM}} \right|^2 & = 2^2 +\left( -\dfrac{1}{2} \right)^2 +0 = \dfrac{17}{4} , \\ \left| \overrightarrow{\text{PN}} \right|^2 & = (-1)^2 +\left( -\dfrac{3}{2} \right)^2 +6 = \dfrac{37}{4} , \\ \overrightarrow{\text{PM}} \cdot \overrightarrow{\text{PN}} & = 2 (-1) -\dfrac{1}{2} \left( -\dfrac{3}{2} \right) +0 \cdot \sqrt{6} = -\dfrac{5}{4} \ . \end{align}\] よって, 求める面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \sqrt{\left| \overrightarrow{\text{PM}} \right|^2 \left| \overrightarrow{\text{PN}} \right|^2 -\left( \overrightarrow{\text{PM}} \cdot \overrightarrow{\text{PN}} \right)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{17}{4} \cdot \dfrac{37}{4} -\left( -\dfrac{5}{4} \right)^2} \\ & = \underline{\dfrac{\sqrt{151}}{2}} \ . \end{align}\]