\(1, 2, 3, 4, 5\) のそれぞれの数字は書かれた玉が \(2\) 個ずつ, 合計 \(10\) 個ある.
(1) \(10\) 個の玉を袋に入れ, よくかき混ぜて \(2\) 個の玉を取り出す. 書かれている \(2\) つの数字の積が \(10\) となる確率を求めよ.
(2) \(10\) 個の玉を袋に入れ, よくかき混ぜて \(4\) 個の玉を取り出す. 書かれている \(4\) つの数字の積が \(100\) となる確率を求めよ.
(3) \(10\) 個の玉を袋に入れ, よくかき混ぜて \(6\) 個の玉を順に取り出す. \(1\) 個目から \(3\) 個目の玉に書かれている \(3\) つの数字の積と, \(4\) 個目から \(6\) 個目の玉に書かれている \(3\) つの数字の積が等しい確率を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(10\) 個の玉から \(2\) 個を取り出す方法は, \({} _ {10} \text{C} {} _ {2}\) 通り.
積が \(10\) になるのは, 「 \(2 ,5\) 」が出ればよい.
各数字の玉は \(2\) つずつあるので, 求める確率は
\[
\dfrac{2 \cdot 2}{{} _ {10} \text{C} {} _ {2}} = \underline{\dfrac{4}{45}} \ .
\]
(2)
\(10\) 個の玉から \(4\) 個を取り出す方法は, \({} _ {10} \text{C} {} _ {4}\) 通り.
積が \(100\) になるのは, 「 \(2 ,2, 5, 5\) 」または「 \(1, 4, 5, 5\) 」が出ればよい.
よって, 求める確率は
\[
\dfrac{1 +2 \cdot 2}{{} _ {10} \text{C} {} _ {4}} = \dfrac{5}{210} = \underline{\dfrac{1}{42}} \ .
\]
(3)
\(10\) 個の玉から \(3\) 個ずつを取り出し, それぞれを A 組, B 組として, \(2\) 組の数字の積が等しい確率を求めればよい.
A 組, B 組の取り出す方法は, \({} _ {10} \text{C} {} _ {3} \cdot {} _ {7} \text{C} {} _ {3}\) 通り.
積が等しくなるのは, 以下の \(2\) つの場合が考えられる.
- 1* 同じ「 \(3\) つの異なる数字」が含まれるとき
\(3\) つの数字の選ばれ方と, 各数字の玉が A , B どちらの組に含まれるか, を考慮すれば, このときの場合の数は \[ {} _ {5} \text{C} {} _ {3} \cdot 2^3 = 80 \ \text{通り} \ . \] - 2* \(3\) または \(5\) が共通し, 一方の組で「 \(1, 4\) 」, 他方の組で「 \(2, 2\) 」が含まれるとき
共通する数字の選ばれ方, 各数字の玉のどちらが選ばれるか, また, A , B どちらの組に含まれるか, を考慮すれば, このときの場合の数は \[ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2^2 = 32 \ \text{通り} \ . \]
以上より, 求める確率は \[ \dfrac{80 +32}{{} _ {10} \text{C} {} _ {3} \cdot {} _ {7} \text{C} {} _ {3}} = \dfrac{112}{4200} = \underline{\dfrac{2}{75}} \ . \]