\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) とする. \(2\) つの曲線 \[ C _ 1 : \ x^2 + 3y^2 = 3 , \quad C _ 2 : \ \dfrac{x^2}{\cos^2 \theta} - \dfrac{y^2}{\sin^2 \theta} = 2 \] の交点のうち, \(x\) 座標と \(y\) 座標がともに正であるものを P とする. P における \(C _ 1 , C _ 2\) の接線をそれぞれ \(\ell _ 1 , \ell _ 2\) とし, \(y\) 軸と \(\ell _ 1 , \ell _ 2\) の交点をそれぞれ Q , R とする. \(\theta\) が \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) の範囲を動くとき, 線分 QR の長さの最小値を求めよ.
【 解 答 】
P \(( p , q ) \ ( p \gt 0 , q \gt 0 )\) とおく.
\[\begin{align}
\ell _ 1 & : \ px +3qy = 3 \\
& \text{∴} \quad \dfrac{px}{3} +qy = 1 , \\
\ell _ 2 & : \ \dfrac{px}{\cos^2 \theta} -\dfrac{qy}{\sin^2 \theta} = 2 \\
& \text{∴} \quad \dfrac{px}{2\cos^2 \theta} -\dfrac{qy}{2\sin^2 \theta} = 1
\end{align}\]
なので
\[\begin{align}
\text{Q} \ \left( 0 , \dfrac{1}{q} \right) , \quad \text{R} \ \left( 0 , -\dfrac{2\sin^2 \theta}{q} \right) \quad ... [1]
\end{align}\]
また, P は \(C _ 1 , C _ 2\) の交点なので,
\[
p^2 + 3q^2 = 3 , \quad \dfrac{p^2}{\cos^2 \theta} - \dfrac{q^2}{\sin^2 \theta} = 2
\]
\(p\) を消去して
\[
\dfrac{3 \left( 1-q^2 \right)}{\cos^2 \theta} -\dfrac{q^2}{\sin^2 \theta} = 2
\]
\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) において, \(0 \lt \sin^2 \theta \lt 1 , \ 0 \lt \cos^2 \theta \lt 1\) なので, 辺々に \(\sin^2 \theta \cos^2 \theta\) を掛けて
\[\begin{align}
3 \left( 1-q^2 \right) \sin^2 \theta -q^2 \cos^2 \theta & = 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta \\
\left( 3 \sin^2 \theta +\cos^2 \theta \right) q^2 & = 3 \sin^2 \theta -2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta \\
\left( 2 \sin^2 \theta +1 \right) q^2 & = 3 \sin^2 \theta -2 \sin^2 \theta \left( 1 -\sin^2 \theta \right) \\
\left( 2 \sin^2 \theta +1 \right) q^2 & = \sin^2 \theta \left( 2 \sin^2 \theta +1 \right)
\end{align}\]
\(2 \sin^2 \theta +1 \gt 0\) なので, これで辺々を割ると
\[
q^2 = \sin^2 \theta
\]
\(q \gt 0\) なので
\[
q = \sin \theta
\]
[1] に用いると
\[
\text{Q} \ \left( 0 , \dfrac{1}{\sin \theta} \right) , \quad \text{R} \ \left( 0 , -2\sin \theta \right)
\]
したがって
\[
\text{QR} = \dfrac{1}{\sin \theta} -\left( -2\sin \theta \right) = 2\sin \theta +\dfrac{1}{\sin \theta}
\]
相加相乗平均の関係より,
\[
\text{QR} \geqq 2 \sqrt{2\sin \theta \cdot \dfrac{1}{\sin \theta}} = 2 \sqrt{2}
\]
等号成立は
\[\begin{align}
\dfrac{1}{\sin \theta} & = 2\sin \theta \\
\sin \theta & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
\text{∴} \quad \theta & = \dfrac{\pi}{4}
\end{align}\]
のとき.
よって, 求める最小値は
\[
\underline{2 \sqrt{2}}
\]