平面上の直線 \(\ell\) に同じ側で接する \(2\) つの円 \(C _ 1 , C _ 2\) があり, \(C _ 1\) と \(C _ 2\) も互いに外接している. \(\ell , C _ 1 , C _ 2\) で囲まれた領域内に, これら \(3\) つと互いに接する円 \(C _ 3\) を作る. 同様に \(\ell , C _ n , C _ {n+1} \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) で囲まれた領域内にあり, これら \(3\) つと互いに接する円 \(C _ {n+2}\) とする. 円 \(C _ n\) の半径を \(r _ n\) とし, \(x _ n = \dfrac{1}{\sqrt{r _ n}}\) とおく. このとき, 以下の問いに答えよ. ただし, \(r _ 1 = 16\) , \(r _ 2 = 9\) とする.
(1) \(\ell\) が \(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3\) と接する点を, それぞれ \(A _ 1 , A _ 2 , A _ 3\) とおく. 線分 \(A _ 1 A _ 2 , A _ 1 A _ 3 , A _ 2 A _ 3\) の長さおよび \(r _ 3\) の値を求めよ.
(2) ある定数 \(a , b\) に対して \(x _ {n+2} = a x _ {n+1} +b x _ n \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) となることを示せ. \(a , b\) の値も求めよ.
(3) (2) で求めた \(a , b\) に対して, \(2\) 次方程式 \(t^2 = at +b\) の解を \(\alpha , \beta \ ( \alpha \gt \beta )\) とする. \(x _ 1 = c {\alpha}^2 +d {\beta}^2\) を満たす有理数 \(c , d\) の値を求めよ. ただし, \(\sqrt{5}\) が無理数であることは証明なしで用いてよい.
(4) (3) の \(c , d , \alpha , \beta\) に対して, \[ x _ n = c {\alpha}^{n+1} +d {\beta}^{n+1} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] となることを示し, 数列 \(\{ r _ n \}\) の一般項を \(\alpha , \beta\) を用いて表せ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} \text{A} _ 1 \text{A} _ 2 & = \sqrt{( r _ 1 +r _ 2 )^2 -( r _ 1 -r _ 2 )^2} \\ & = 2 \sqrt{r _ 1 r _ 2} = \underline{24} \end{align}\] 同様にすれば \[\begin{align} \text{A} _ 1 \text{A} _ 3 & = 2 \sqrt{r _ 1 r _ 3} = 8 \sqrt{r _ 3} , \\ \text{A} _ 2 \text{A} _ 3 & = 2 \sqrt{r _ 2 r _ 3} = 6 \sqrt{r _ 3} \end{align}\] \(\text{A} _ 1 \text{A} _ 2 = \text{A} _ 1 \text{A} _ 3 +\text{A} _ 2 \text{A} _ 3\) なので \[\begin{align} 8 \sqrt{r _ 3} +6 \sqrt{r _ 3} & = 24 \\ \sqrt{r _ 3} & = \dfrac{12}{7} \\ \text{∴} \quad r _ 3 & = \underline{\dfrac{144}{49}} \end{align}\] よって \[ \text{A} _ 1 \text{A} _ 3 = \underline{\dfrac{96}{7}} , \ \text{A} _ 2 \text{A} _ 3 = \underline{\dfrac{72}{7}} \]
(2)
\(C _ n , C _ {n+1} , C _ {n+2}\) について, (1) と同様に考えれば \[\begin{align} 2 \sqrt{r _ n r _ {n+1}} & = 2 \sqrt{r _ n r _ {n+2}} +2 \sqrt{r _ {n+1} r _ {n+2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{r _ {n+2}}} & = \dfrac{1}{\sqrt{r _ {n+1}}} +\dfrac{1}{\sqrt{r _ n}} \\ \text{∴} \quad x _ {n+2} & = x _ {n+1} +x _ n \end{align}\] よって \[ a = b = \underline{1} \]
(3)
\(\alpha , \beta \ ( \alpha \gt \beta )\) は 方程式 \(t^2 -t -1 = 0\) の解なので \[ \alpha = \dfrac{1 +\sqrt{5}}{2} , \ \beta = \dfrac{1 -\sqrt{5}}{2} \] したがって \[\begin{align} {\alpha}^2 = \alpha +1 = \dfrac{3 +\sqrt{5}}{2} , \\ {\beta}^2 = \beta +1 = \dfrac{3 -\sqrt{5}}{2} \end{align}\] \(x _ 1 = \dfrac{1}{4}\) と, これを用いれば \[\begin{align} c {\alpha}^2 +d {\beta}^2 & = \dfrac{3}{2} (c+d) +\dfrac{\sqrt{5}}{2} (c-d) = \dfrac{1}{4} \end{align}\] \(c , d\) は有理数, \(\sqrt{5}\) は無理数なので \[\begin{align} \dfrac{3 (c+d)}{2} = \dfrac{1}{4} & , \ \dfrac{c-d}{2} = 0 \\ \text{∴} \quad c = d & = \underline{\dfrac{1}{12}} \end{align}\]
(4)
すべての自然数 \(n\) について \[ x _ n = c {\alpha}^{n+1} +d {\beta}^{n+1} \quad ... [ \text{A} ] \] が成立することを, 数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n = 1\) のとき
(3) の結果より, [A] は成立する.2* \(n = 2\) のとき
\(x _ 2 = c' {\alpha}^3 +d' {\beta}^3\) をみたす 有理数 \(c' , d'\) を求めると \[\begin{align} {\alpha}^3 & = ( \alpha +1 ) \alpha = 2 \alpha +1 = 2 +\sqrt{5} , \\ {\beta}^3 & = ( \beta +1 ) \beta = 2 \beta +1 = 2 -\sqrt{5} \end{align}\] \(x _ 2 = \dfrac{1}{3}\) と, これを用いれば \[\begin{align} c' {\alpha}^3 +d' {\beta}^3 & = 2 ( c' +d' ) +\sqrt{5} ( c' -d' ) = \dfrac{1}{3} \end{align}\] \(c' , d'\) は有理数, \(\sqrt{5}\) は無理数なので \[\begin{align} 2 ( c' +d' ) = \dfrac{1}{3} & , \ c' -d' = 0 \\ \text{∴} \quad c' = d' & = \dfrac{1}{12} \end{align}\] ゆえに \(c' = c\) , \(d' = d\) なので, [A] は成立する.3* \(n = k , k+1 \ ( k = 1, 2, 3, \cdots )\) のときに, [A] が成立する, すなわち \[\begin{align} x _ k & = c {\alpha}^{k+1} +d {\beta}^{k+1} , \\ x _ {k+1} & = c {\alpha}^{k+2} +d {\beta}^{k+2} \end{align}\] と仮定すると \[\begin{align} x _ {k+2} & = x _ {k+1} +x _ k \\ & = c {\alpha}^{k+1} ( \alpha +1 ) +d {\beta}^{k+1} ( \beta +1 ) \\ & = c {\alpha}^{k+2} +d {\beta}^{k+2} \end{align}\] ゆえに, \(n = k+2\) のときも [A] が成立する.
以上より, 題意は示され, 求める一般項は \[ r _ n = \underline{\dfrac{144}{\left( {\alpha}^{n+1} +{\beta}^{n+1} \right)^2}} \]