半径 \(3\) の球 \(T _ 1\) と半径 \(1\) の球 \(T _ 2\) が, 内接した状態で空間に固定されている. 半径 \(1\) の球 \(S\) が次の条件 (A) , (B) を満たしながら動く.
(A) \(S\) は \(T _ 1\) の内部にあるか \(T _ 1\) に内接している.
(B) \(S\) は \(T _ 2\) の外部にあるか \(T _ 2\) に外接している.
\(S\) の中心が存在しうる範囲を \(D\) とするとき, 立体 \(D\) の体積を求めよ.
【 解 答 】
\(T _ 1 , T _ 2\) の中心を \(\text{O} _ 1 , \text{O} _ 2\) とすれば, \(2\) 点を通る平面での \(D\) の断面は下図のようになる.
求める体積 \(V\) は, 下図 (A) , (B) の回転体の体積 \(V _ 1 , V _ 2\) を用いて,
\[
V = V _ 1 -V _ 2
\]
\[\begin{align} V _ 1 & = \pi \displaystyle\int _ {-1}^2 y^2 \, dx = \pi \displaystyle\int _ {-1}^2 (4-x^2) \, dx , \\ V _ 2 & = \pi \displaystyle\int _ 1^2 y^2 \, dx = \pi \displaystyle\int _ 1^2 (4-x^2) \, dx \end{align}\] なので, \[\begin{align} V & = V _ 1 -V _ 2 = \pi \displaystyle\int _ {-1}^1 (4-x^2) \, dx \\ & = 2 \pi \displaystyle\int _ 0^1 (4-x^2) \, dx = 2 \pi \left[ 4x -\dfrac{x^3}{3} \right] _ 0^1 \\ & = 2 \pi \cdot \dfrac{11}{3} = \underline{\dfrac{22}{3}\pi} \end{align}\]