立方体の面を \(3\) 色を用いて \(2\) つずつ同じ色に塗る. 次の問に答えよ.
(1) 向かい合う \(2\) 面が, どの組についても同じ色で塗られる確率を求めよ.
(2) 向かい合う \(2\) 面が, どの組についても同じ色にならない確率を求めよ.
(3) 向かい合う \(2\) 面の組のうち, \(2\) 面の色が同じになる組の個数の期待値を求めよ.
【 解 答 】
\(6\) つの面を, \(3\) 色 \(2\) 面ずつに塗る方法は, 全部で \[ \dfrac{6 !}{2 ! 2 ! 2 !} = 90 \ \text{通り} \]
(1)
条件をみたす塗り方は, \(3\) 組の向かい合う面の塗り方なので \[ 3 ! = 6 \ \text{通り} \] よって, 求める確率は \[ \dfrac{6}{90} = \underline{\dfrac{1}{15}} \]
(2)
\(1\) 色目の \(1\) つの面が立方体の上面であると考える.
このとき, \(1\) 色目の もう \(1\) つの面は, \(4\) つの側面のいずれかとなる.
残り \(4\) 面を, 向かい合う面が同じ色にならないように, 残りの \(2\) 色目, \(3\) 色目で塗る方法は \(2\) 通り.
\(1\) ～ \(3\) 色目への色の割当て方も考慮すれば, 条件をみたす塗り方は
\[
4 \cdot 2 \cdot 3 ! = 48 \ \text{通り}
\]
よって, 求める確率は
\[
\dfrac{48}{90} = \underline{\dfrac{8}{15}}
\]
(3)
向かい合う \(2\) 面が \(2\) 組だけ同じ色となることはないので, \(1\) 組だけ同じ色になる場合は \[ 90 -6 -48 = 36 \ \text{通り} \] で, そのようになる確率は \[ \dfrac{36}{90} = \dfrac{2}{5} \] よって, 求める期待値は \[ 3 \cdot \dfrac{1}{15} +2 \cdot 0 +1 \cdot \dfrac{2}{5} +0 \cdot \dfrac{8}{15} = \underline{\dfrac{3}{5}} \]