\(a-b-8\) と \(b-c-8\) が素数となるような素数の組 \(( a , b , c )\) をすべて求めよ.
【 解 答 】
\(p = a-b-8\) , \(q = b-c-8\) とおく.
\(p \gt 0\) , \(q \gt 0\) なので, \(a \gt b \gt c\) .
- 1* \(c = 2\) のとき
\[
q = b -10
\]
\(3\) 以上の素数はすべて奇数なので, \(p\) は偶数で
\[ \begin{align}
p & = 2 \\
\text{∴} \quad a & = b +10
\end{align} \]
したがって, \(b-10 , b , b+10\) はすべて素数である.
\[
b-10 \equiv b-1 , \ b+10 \equiv b+1 \quad ( \text{mod} \ 3 )
\]
なので, \(3\) つの数のうち, \(1\) つは \(3\) の倍数であるから
\[ \begin{align}
b-10 & = 3 \\
\text{∴} \quad b & = 13
\end{align} \]
ゆえに
\[
a = 13 +10 = 23
\]
- 2* \(c \geqq 3\) のとき
\(3\) 以上の素数はすべて奇数なので, \(p , q\) は偶数で
\[ \begin{align}
p = q & = 2 \\
\text{∴} \quad a = b +10 & , \ c = b -10
\end{align} \]
1*と同様に考えることができて
\[
a = 23 , \ b = 13 , \ c = 3
\]
以上より, 求める素数の組は
\[
( a, b, c ) = \underline{( 23 , 13 , 2 ) , ( 23 , 13 , 3 )}
\]