\(0 \lt t \lt 1\) とし, 放物線 \(C : \ y = x^2\) 上の点 \(( t , t^2 )\) における接線を \(l\) とする. \(C\) と \(l\) と \(x\) 軸で囲まれる部分の面積を \(S_1\) とし, \(C\) と \(l\) と直線 \(x = 1\) で囲まれる部分の面積を \(S_2\) とする. \(S_1 +S_2\) の最小値を求めよ.
【 解 答 】
\(C\) について, \(y' = 2x\) なので
\[ \begin{align}
l : \ y & = 2t (x-t) +t^2 \\
& = 2tx -t^2
\end{align} \]
この直線について, \(y = 0\) とすれば
\[ \begin{align}
2tx -t^2 & = 0 \\
\text{∴} \quad x & = \dfrac{t}{2}
\end{align} \]
また, \(x = 1\) とすれば
\[
y = 2t -t^2 = t (2-t)
\]
したがって
\[ \begin{align}
S_1 +S_2 & = \displaystyle\int_0^1 x^2 \, dx -\dfrac{1}{2} \left( 1 -\dfrac{t}{2} \right) t (2-t) \\
& = \left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_0^1 -\dfrac{t}{4} (2-t)^2 \\
& = -\dfrac{t^3}{4} +2t^2 -t +\dfrac{1}{3}
\end{align} \]
これを \(f(t)\) とおけば
\[ \begin{align}
f'(t) & = -\dfrac{3 t^2}{4} +2t -1 \\
& = -\dfrac{1}{4} ( 3t -2 ) ( t -2 )
\end{align} \]
したがって, \(0 \lt t \lt 1\) における \(f(t)\) の増減は下のようになる.
\[
\begin{array}{c|ccc} t & (0) & \cdots & \dfrac{2}{3} & \cdots & (1) \\ \hline f'(t) & & - & 0 & + & \\ \hline f(t) & & \searrow & \text{最小} & \nearrow & \end{array}
\]
よって, 求める最小値は
\[ \begin{align}
f \left( \dfrac{2}{3} \right) & = -\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{8}{27} +\dfrac{4}{9} -\dfrac{2}{3} +\dfrac{1}{3} \\
& = \underline{\dfrac{1}{27}}
\end{align} \]