円 \(C : \ x^2 +y^2 = 1\) 上の点Pにおける接線を \(l\) とする. 点 \(( 1 , 0 )\) を通り, \(l\) と平行な直線を \(m\) とする. 直線 \(m\) と円 \(C\) の \(( 1 , 0 )\) 以外の共有点をP'とする. ただし, \(m\) が直線 \(x = 1\) のときはP'を \(( 1 , 0 )\) とする.
円 \(C\) 上の点 \(( s , t )\) から点P' \(( s' , t' )\) を得る上記の操作をTと呼ぶ.
- (1) \(s' , t'\) をそれぞれ \(s\) と \(t\) の多項式として表せ.
- (2) 点Pに操作Tを \(n\) 回繰り返して得られる点を \(\text{P} _ n\) とおく. Pが \(\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} , \dfrac{1}{2} \right)\) のとき, \(\text{P} _ 1 , \text{P} _ 2 , \text{P} _ 3\) を図示せよ.
- (3) 正の整数 \(n\) について, \(\text{P} _ n = \text{P}\) となるような点Pの個数を求めよ.
【 解 答 】
(1)
A \(( 1 , 0 )\) , 線分OPと \(l\) の交点をHとおく.
\(l / \hspace{-0.2em} / m\) なので, \(\angle \text{OHA} = \angle \text{OHP'} = 90^{\circ}\) だから
\[
\triangle \text{OHA} \equiv \triangle \text{OHP'}
\]
ゆえに
\[
\angle \text{AOP} = \angle \text{POP'} \quad ... [1]
\]
\(s = \cos \theta , \ t = \sin \theta \ ( 0 \leqq \theta \lt 2 \pi )\) ... [2] とおくことができるので, [1]より
\[ \begin{align}
s' & = \cos 2 \theta = \underline{2s^2 -1} \\
t' & = \sin 2 \theta = \underline{2st}
\end{align} \]
(2)
P \(\left( \cos \dfrac{\pi}{6} , \sin \dfrac{\pi}{6} \right)\) なので
\[ \begin{align}
\text{P} _ 1 & \ \left( \cos \dfrac{\pi}{3} , \sin \dfrac{\pi}{3} \right) \ \text{すなわち} \ \left( \dfrac{1}{2} , \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) , \\
\text{P} _ 2 & \ \left( \cos \dfrac{2 \pi}{3} , \sin \dfrac{2 \pi}{3} \right) \ \text{すなわち} \ \left( -\dfrac{1}{2} , \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) , \\
\text{P} _ 3 & \ \left( \cos \dfrac{4 \pi}{3} , \sin \dfrac{4 \pi}{3} \right) \ \text{すなわち} \ \left( -\dfrac{1}{2} , -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)
\end{align} \]
よって, 下図のようになる.
(3)
\(\text{P} _ n \ \left( \cos 2^n \theta , \sin 2^n \theta \right)\) なので, \(\text{P} _ n = \text{P}\) となる条件は, 整数 \(k\) を用いて
\[ \begin{align}
2^n \theta & = 2 \pi k +\theta \\
\text{∴} \quad \theta & = \dfrac{2 \pi k}{2^n -1}
\end{align} \]
[2]を用いれば
\[ \begin{align}
0 & \leqq \dfrac{2 \pi k}{2^n -1} \lt 2 \pi \\
0 & \leqq \dfrac{k}{2^n -1} \lt 1 \\
\text{∴} \quad 0 & \leqq k \lt 2^n -1
\end{align} \]
これをみたす整数 \(k\) の個数が, 求める個数なので
\[
\underline{2^n -1} \ \text{個}
\]