半径 \(1\) の球が直円錐に内接している. この直円錐の底面の半径を \(r\) とし, 表面積を \(S\) とする.
- (1) \(S\) を \(r\) を用いて表せ.
- (2) \(S\) の最小値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
直円錐の母線の長さを \(m\) とおき, 頂点をA, 底面の中心をC, 球の中心をDとする.
上図のような直円錐の軸を含む切り口を考えれば
\[ \begin{align}
\text{AC} & = \sqrt{m^2 -r^2} \\
\text{AE} & = m-r
\end{align} \]
\(\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{ADE}\) なので
\[ \begin{align}
1 : (m-r) & = r : \sqrt{m^2 -r^2} \\
r^2 (m-r)^2 & = m^2 -r^2 \\
r^2 (m-r) & = m+r \quad ( \ \text{∵} \ m \gt r \ ) \\
( r^2 -1 ) m & = r ( r^2 +1 ) \\
\text{∴} \quad m & = \dfrac{r ( r^2 +1 )}{r^2 -1}
\end{align} \]
よって
\[ \begin{align}
S & = \pi r^2 +\pi r m \\
& = \pi r^2 \left\{ 1 +\dfrac{r^2 +1}{r^2 -1} \right\} \\
& = \underline{\dfrac{2 \pi r^4}{r^2 -1}}
\end{align} \]
(2)
\(r \gt 1\) なので, 相加相乗平均の関係を用いれば
\[ \begin{align}
S & = 2 \pi \left( r^2 +1 +\dfrac{1}{r^2 -1} \right) \\
& = 2 \pi \left( r^2 -1 +\dfrac{1}{r^2 -1} +2 \right) \\
& \geqq 2 \pi \left( 2 \sqrt{( r^2 -1 ) \cdot \dfrac{1}{r^2 -1}} +2 \right) \\
& = 8 \pi
\end{align} \]
等号成立は
\[ \begin{align}
r^2 -1 & = \dfrac{1}{r^2 -1} \\
\text{∴} \quad r & = \sqrt{2}
\end{align} \]
のとき.
よって, 求める最大値は
\[
\underline{8 \pi}
\]