\(a\) を正の実数とし, \(p\) を正の有理数とする.
座標平面上の \(2\) つの曲線 \(y = ax^p \ ( x \gt 0 )\) と \(y = \log x \ ( x \gt 0 )\) を考える. この \(2\) つの曲線の共有点が \(1\) 点のみであるとし, その共有点をQとする.
以下の問いに答えよ. 必要であれば, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{x^p}{\log x} = \infty\) を証明なしに用いてもよい.
(1) \(a\) および点 Q の \(x\) 座標を \(p\) を用いて表せ.
(2) この \(2\) つの曲線と \(x\) 軸で囲まれる図形を, \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体の体積を \(p\) を用いて表せ.
(3) (2) で得られる立体の体積が \(2 \pi\) になるときの \(p\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(C : \ y = a x^p\) , \(D : \ y = \log x\) とおく.
それぞれ微分すると
\[
y' = ap x^{p-1} , \quad y' = \dfrac{1}{x}
\]
Q の \(x\) 座標を \(t\) とおくと
\[
\left\{ \begin{array}{ll} a t^p = \log t & ... [1] \\ ap t^{p-1} = \dfrac{1}{t} & ... [2] \end{array} \right.
\]
[2] より
\[
a = \dfrac{1}{p t^p}
\]
これを [1] に代入して
\[\begin{align}
\dfrac{1}{p t^p} \cdot t^p & = \log t \\
\text{∴} \quad t & = e^{\frac{1}{p}}
\end{align}\]
よって, Q の \(x\) 座標は, \(\underline{e^{\frac{1}{p}}}\) .
また, \(t^p = e\) なので
\[
a = \underline{\dfrac{1}{pe}}
\]
(2)
\(C\) と \(D\) は上図のような位置関係にあるので, 求める体積 \(V\) は
\[
V = \pi \displaystyle\int _ 0^t \left( a x^p \right)^2 \, dx -\pi \displaystyle\int _ 1^t ( \log x )^2 \, dx
\]
ここで
\[\begin{align}
\displaystyle\int ( \log x )^2 \, dx & = x ( \log x )^2 -2 \displaystyle\int x \cdot \dfrac{\log x}{x} \, dx \\
& = x ( \log x )^2 -2x \log x +2 \displaystyle\int x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\
& = x ( \log x )^2 -2x \log x +2x +C , \\
\displaystyle\int \left( a x^p \right)^2 \, dx & = \dfrac{a^2 x^{2p+1}}{2p+1} +C
\end{align}\]
ただし, \(C\) は積分定数.
これを用いれば
\[\begin{align}
V & = \dfrac{\pi a^2 t^{2p+1}}{2p+1} -\pi \left\{ t ( \log t )^2 -2t \log t +2t \right\} +2 \pi \\
& = \dfrac{\frac{1}{p^2 e^2} \cdot e^{2 +\frac{1}{p}}}{2p+1} -\pi e^{\frac{1}{p}} \left( \dfrac{1}{p^2} -\dfrac{2}{p} +2 \right) +2\pi \\
& = \dfrac{\pi e^{\frac{1}{p}}}{p^2 (2p+1)} \left\{ 1 -(2p+1)( 2p^2 -2p +1 ) \right\} +2 \pi \\
& = \dfrac{\pi e^{\frac{1}{p}}}{p^2 (2p+1)} \cdot 2 t^2 (1-2p) +2 \pi \\
& = \underline{2 \pi \left\{ 1 +\dfrac{e^{\frac{1}{p}} (1-2p)}{1+2p} \right\}}
\end{align}\]
(3)
\(V = 2 \pi\) なので, (2) の結果より \[\begin{align} 1-2p & = 0 \\ \text{∴} \quad p & = \underline{\dfrac{1}{2}} \end{align}\]