数列 \(\{ p _ n \}\) を次のように定める. \[ p _ 1 = 1 , \ p _ 2 = 2 , \ p _ {n+2} = \dfrac{{p _ {n+1}^2 +1}}{p _ n} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \]
(1) \(\dfrac{{p _ {n+1}}^2 +{p _ n}^2 +1}{p _ {n+1} p _ n}\) が \(n\) によらないことを示せ.
(2) すべての \(n = 2, 3, 4, \cdots\) に対し, \(p _ {n+1} +p _ {n-1}\) を \(p _ n\) のみを使って表せ.
(3) 数列 \(\{ q _ n \}\) を次のように定める. \[ q _ 1 = 1 , \ q _ 2 = 1 , \ q _ {n+2} = q _ {n+1} +q _ n \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] すべての \(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対し, \(p _ n = q _ {2n-1}\) を示せ.
【 解 答 】
(1)
\(c _ n = \dfrac{{p _ {n+1}}^2 +{p _ n}^2 +1}{p _ {n+1} p _ n}\) とおく.
条件を用いれば
\[\begin{align}
c _ {n+1} & = \dfrac{\left( \dfrac{{p _ {n+1}^2 +1}}{p _ n} \right)^2 +{p _ {n+1}}^2 +1}{\dfrac{{p _ {n+1}^2 +1}}{p _ n} \cdot p _ {n+1}} \\
& = \dfrac{{p _ {n+1}}^4 +( {p _ n}^2 +2 ) {p _ {n+1}}^2 +{p _ n}^2 +1}{p _ {n+1} p _ n ( {p _ {n+1}}^2 +1 )} \\
& = \dfrac{{p _ {n+1}}^2 +{p _ n}^2 +1}{p _ {n+1} p _ n} = c _ n
\end{align}\]
よって, これを繰返し用いれば
\[
c _ n = c _ 1 = \dfrac{2^2 +1^2 +1}{2 \cdot 1} = 3 \quad ... [1]
\]
で, \(n\) によらず一定となる.
(2)
条件より, \({p _ {n+1}^2 +1 = p _ {n+2} p _ n}\) なので, (1) の結果に用いれば \[\begin{align} c _ n = \dfrac{p _ {n+2} p _ n +{p _ n}^2}{p _ {n+1} p _ n} & = \dfrac{p _ {n+2} +p _ n}{p _ {n+1}} = 3 \\ \text{∴} \quad p _ {n+2} +p _ n & = 3 p _ {n+1} \end{align}\] よって, \(n \geqq 2\) に対して \[ p _ {n+1} +p _ {n-1} = \underline{3 p _ n} \]
(3)
すべての自然数 \(n\) について \[ p _ n = q _ {2n-1} \quad ... [ \text{A} ] \] が成立することを, 帰納法を用いて示す.
1* \(n = 1\) のとき
\[ p _ 1 = q _ 1 = 1 \] なので, [A] は成立する.2* \(n = 2\) のとき
\[ p _ 1 = q _ 3 = q _ 1 +q _ 2 = 2 \] なので, [A] は成立する.3* \(n = k , k+1 \ ( k \geqq 1 )\) のときに [A] が成立する, すなわち \[ p _ k = q _ {2k-1} , \ p _ {k+1} = q _ {2k+1} \] と仮定すると, (2) の結果も用いて \[\begin{align} p _ {k+2} & = 3 p _ {k+1} -p _ k \\ & = 3 q _ {2k+1} -q _ {2k-1} \\ & = ( q _ {2k+2} -q _ {2k} ) +q _ {2k+1} +( q _ {2k} +q _ {2k-1} ) -q _ {2k-1} \\ & = q _ {2k+2} +q _ {2k+1} \\ & = q _ {2k+3} \end{align}\] したがって, \(n = k+2\) のときも [A] が成立する.
以上より, 題意は示された.