\(n\) を正の整数とする. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　関数 \(g(x)\) を次のように定める. \[ g(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\cos ( \pi x ) +1}{2} & ( \ |x| \leqq 1 \text{のとき} \ ) \\ 0 & ( \ |x| \gt 1 \text{のとき} \ ) \end{array} \right. \] \(f(x)\) を連続な関数とし, \(p , q\) を実数とする. \(|x| \leqq \dfrac{1}{n}\) をみたす \(x\) に対して \(p \leqq f(x) \leqq q\) が成り立つとき, 次の不等式を示せ. \[ p \leqq n \displaystyle\int _ {-1}^1 g(nx) f(x) \, dx \leqq q \]
2. (2)　関数 \(h(x)\) を次のように定める. \[ h(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -\dfrac{\pi}{2} \sin ( \pi x ) & ( \ |x| \leqq 1 \text{のとき} \ ) \\ 0 & ( \ |x| \gt 1 \text{のとき} \ ) \end{array} \right. \] このとき, 次の極限を求めよ. \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n^2 \displaystyle\int _ {-1}^1 h(nx) \log ( 1 +e^{x+1} ) \, dx \]

【 解 答 】

(1)

\(I _ n = n \displaystyle\int _ {-1}^1 g(nx) f(x) \, dx\) とおく.
\(nx = t\) とおくと \[ n \, dx = dt , \quad \begin{array}{c|ccc} x & -1 & \rightarrow & 1 \\ \hline t & -n & \rightarrow & n \end{array} \] なので \[\begin{align} I _ n & = \displaystyle\int _ {-n}^n g(t) f \left( \dfrac{t}{n} \right) \, dt \\ & = \displaystyle\int _ {-1}^1 g(t) f \left( \dfrac{t}{n} \right) \, dt \quad ( \ \text{∵} \ g(x) \text{の定義} \ ) \end{align}\] ここで \[ \displaystyle\int _ {-1}^1 g(t) \, dt = \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{\sin ( \pi t )}{\pi} +t \right] _ {-1}^1 = 1 \] また, \(-1 \leqq t \leqq 1\) のとき, \(p \leqq f \left( \dfrac{t}{n} \right) \leqq q\) なので \[\begin{align} p \displaystyle\int _ {-1}^1 g(t) \, dt & \leqq I _ n \leqq q \displaystyle\int _ {-1}^1 g(t) \, dt \\ \text{∴} \quad p & \leqq I _ n \leqq q \end{align}\]

(2)

\(J _ n = n^2 \displaystyle\int _ {-1}^1 h(nx) \log ( 1 +e^{x+1} ) \, dx\) とおく.
\(|x| \lt 1\) において \[ g'(x) = -\dfrac{\pi}{2} \sin ( \pi x ) = h(x) \] なので \[ \displaystyle\int h(x) \, dx = g(x) +C \quad ( \ C \text{は積分定数} \ ) \] これを用いれば \[\begin{align} J _ n & = n^2 \left[ \dfrac{g(nx)}{n} \log ( 1 +e^{x+1} )\right] _ {-1}^1 -n \displaystyle\int _ {-1}^1 g(nx) \cdot \dfrac{e^{x+1}}{1 +e^{x+1}} \, dx \\ & = -n \displaystyle\int _ {-1}^1 g(nx) \cdot \underline{\dfrac{e^{x+1}}{1 +e^{x+1}}} _ {[1]} \, dx \quad ( \ \text{∵} \ g(n) = g(-n) = 0 \ ) \end{align}\] ここで, [1] を \(f(x)\) とおけば, (1) の結果より \[ -q \leqq J _ n \leqq -p \quad ... [2] \] \(f(x)\) は \[ f(x) = 1 -\dfrac{1}{1 +e^{x+1}} \] より, 単調増加関数なので, \(|x| \leqq \dfrac{1}{n}\) における最小値 \(p\) , 最大値 \(q\) は \[\begin{align} p & = 1 -\dfrac{1}{1 +e^{-\frac{1}{n} +1}} , \\ q & = 1 -\dfrac{1}{1 +e^{\frac{1}{n} +1}} \end{align}\] \(n \rightarrow \infty\) の極限を考えると \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} p = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} q = 1 -\dfrac{1}{1+e} = \dfrac{e}{1+e} \] よって, [2] より, はさみうちの原理から \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} J _ n = \underline{-\dfrac{e}{1+e}} \]