\(2\) つの関数 \(y = \sin \left( x +\dfrac{\pi}{8} \right)\) と \(y = \sin 2x\) のグラフの \(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) の部分で囲まれる領域を, \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ.

【 解 答 】

\(0 \leqq x \leq\dfrac{\pi}{2}\) において, \(2\) つのグラフが囲む部分は上図のようになる.
グラフの式から \(y\) を消去すると \[\begin{align} \sin \left( x +\dfrac{\pi}{8} \right) = \sin 2x & \\ 2 \cos \dfrac{2x +x +\frac{\pi}{8}}{2} \sin \dfrac{2x -x -\frac{\pi}{8}}{2} & = 0 \\ \cos \left( \dfrac{3x}{2} +\dfrac{\pi}{16} \right) \sin \left( \dfrac{x}{2} -\dfrac{\pi}{16} \right) & = 0 \end{align}\] これを, \(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) の範囲でとくと \[\begin{align} \dfrac{3x}{2} +\dfrac{\pi}{16} = \dfrac{\pi}{2} & , \ \dfrac{x}{2} -\dfrac{\pi}{16} = 0 \\ \text{∴} \quad x = \dfrac{7 \pi}{24} & , \ \dfrac{\pi}{8} \end{align}\] よって, 求める体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = \pi \displaystyle\int _ {\frac{\pi}{8}}^{\frac{7 \pi}{24}} \left\{ \sin^2 2x -\sin^2 \left( x +\dfrac{\pi}{8} \right) \right\} \, dx \\ & = \dfrac{\pi}{2} \displaystyle\int _ {\frac{\pi}{8}}^{\frac{7 \pi}{24}} \left\{ 1 -\cos 4x -1 +\cos \left( 2x +\dfrac{\pi}{4} \right) \right\} \, dx \\ & = \dfrac{\pi}{2} \left[ \dfrac{1}{2} \sin \left( 2x +\dfrac{\pi}{4} \right) -\dfrac{1}{4} \sin 4x \right] _ {\frac{\pi}{8}}^{\frac{7 \pi}{24}} \\ & = \dfrac{\pi}{8} \left( 2 \sin \dfrac{5 \pi}{6} -\sin \dfrac{7 \pi}{6} \right) -\dfrac{\pi}{8} \left( 2 \sin \dfrac{\pi}{2} -\sin \dfrac{\pi}{2} \right) \\ & = \dfrac{3 \pi}{16} -\dfrac{\pi}{8} \\ & = \underline{\dfrac{\pi}{16}} \end{align}\]