次の \(2\) つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ.

1. (a)　少なくとも \(2\) つの内角は \(90^{\circ}\) である.

2. (b)　半径 \(1\) の円が内接する. ただし, 円が四角形に内接するとは, 円が四角形の \(4\) つの辺すべてに接することをいう.

【 解 答 】

四角形の面積を \(S\) とおく.
条件 (a) より, 以下の \(2\) つの場合が考えられる.

1. 1*　隣り合う \(2\) 角が \(90^{\circ}\) のとき
   残る \(2\) 角のうち, 小さい方の角を \(2 \theta \ ( 0 \lt \theta \leqq 45^{\circ} )\) とおくと, 四角形は台形なので \[\begin{align} S & = \dfrac{1}{2} \left\{ 1 +\dfrac{1}{\tan \theta} +1 +\dfrac{1}{\tan (90^{\circ} -\theta )} \right\} \cdot 2 \\ & = 2 +\tan \theta +\dfrac{1}{\tan \theta} \end{align}\]

2. 2*　向かい合う \(2\) 角が \(90^{\circ}\) のとき
   残る \(2\) 角のうち, 小さい方の角を \(2 \theta \ ( 0 \lt \theta \leqq 45^{\circ} )\) とおくと, 四角形は \(2\) つの合同な三角形からなるので \[\begin{align} S & = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \left( 1 +\dfrac{1}{\tan \theta} \right) \left\{ 1 +\dfrac{1}{\tan (90^{\circ} -\theta )} \right\} \\ & = 2 +\tan \theta +\dfrac{1}{\tan \theta} \end{align}\] したがって, いずれの場合でも \(S\) は同様に表すことができて, 相加相乗平均の関係を用いれば \[ S \geqq 2 +2 \sqrt{\tan \theta \cdot \dfrac{1}{\tan \theta}} = 4 \] 等号成立は \[\begin{align} \tan \theta & = \dfrac{1}{\tan \theta} \\ \tan^2 \theta & = 1 \\ \text{∴} \quad \theta & = 45^{\circ} \end{align}\] のとき, つまり, 四角形が正方形となるときである.

よって, 求める最小値は \[ \underline{4} \]