(1) \(a\) を実数とするとき, \(( a , 0 )\) を通り, \(y = e^x +1\) に接する直線がただ \(1\) つ存在することを示せ.
(2) \(a _ 1 = 1\) として, \(n = 1, 2, \cdots\) について, \(( a _ n , 0 )\) を通り, \(y = e^x +1\) に接する直線の接点の \(x\) 座標を \(a _ {n+1}\) とする. このとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} ( a _ {n+1} -a _ n )\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(C : \ y = e^x +1\) とすれば, \(y' = e^x\) なので, 点 \(( t , e^t +1 )\) における \(C\) の接線の式は
\[\begin{align}
y & = e^t (x-t) +e^t +1 \\
& = e^t x -(t-1) e^t +1
\end{align}\]
これが点 \(( a , 0 )\) を通るので
\[\begin{align}
e^t a -(t-1) e^t +1 & = 0 \\
\text{∴} \quad -e^{-t} +t-1 & = a \quad ... [1]
\end{align}\]
したがって, [1] がただ \(1\) つの解 \(t\) をもつことを示せばよい.
[1] の左辺を \(f(t)\) とおくと
\[
f'(t) = e^{-t} +1 \gt 0
\]
なので, \(f(t)\) は単調増加関数である.
さらに, 極限について
\[
\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} f(t) = \infty , \ \displaystyle\lim _ {t \rightarrow -\infty} f(t) = -\infty
\]
なので, [1] は \(a\) の値によらず, ただ \(1\) つの解をもつ.
よって, 題意は示された.
(2)
[1] と (1) の結果より \[ -e^{-a _ {n+1}} +a _ {n+1} -1 = a _ n \quad ... [2] \] これを変形すると \[ a _ {n+1} = a _ n +1 +e^{-a _ {n+1}} \gt a _ n +1 \] これを繰返し用いれば, \(a _ 1 = 1\) より \[ a _ n \gt n \] ゆえに \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n = \infty \] よって, 再度 [2] を用いて \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} ( a _ {n+1} -a _ n ) & = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( 1 +e^{-a _ {n+1}} \right) \\ & = 1 +0 = \underline{1} \end{align}\]