\(a , b , c , d , e\) を正の実数として整式 \[\begin{align} f(x) & = ax^2 +bx +c \\ g(x) & = dx +e \end{align}\] を考える. すべての正の整数 \(n\) に対して, \(\dfrac{f(n)}{g(n)}\) は整数であるとする. このとき, \(f(x)\) は \(g(x)\) で割り切れることを示せ.

【 解 答 】

\(P(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}\) とおく.
\(f(x) , g(x)\) はそれぞれ \(x\) の \(2\) 次式, \(1\) 次式なので, 実数 \(p , q , r\) を用いて \[ P(x) = px +q +\dfrac{r}{g(x)} \quad ... [1] \] と表せる.
\(r = 0\) であることを示せばよい.
[1] より \[ P(n+1) -P(n) = p -\dfrac{dr}{g(n+1) g(n)} \] 同様に考えれば \[ P(n+2) -P(n+1) = p -\dfrac{dr}{g(n+2) g(n+1)} \] したがって \[\begin{align} ( P(n+2) & -P(n+1) ) -( P(n+1) -P(n) ) \\ & = -\dfrac{dr}{g(n+2) g(n+1)} +\dfrac{dr}{g(n+1) g(n)} \\ & = \underline{\dfrac{2 d^2 r}{g(n+2) g(n+1) g(n)}} _ {[2]} \end{align}\] すべての自然数 \(n\) について, \(P(n)\) は整数なので, \(P(n+2) -P(n)\) も整数である.
ここで, \(r \neq 0\) と仮定すると \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} g(n+2) g(n+1) g(n) = \infty \] なので, 十分に大きな \(n\) をとれば, \(-1 \lt [2] \lt 1\) となるため, 矛盾する.
よって, \(r = 0\) であり, 題意は示された.