\(2\) つの関数を \[ f _ 0 (x) = \dfrac{x}{2} , \ f _ 1 (x) = \dfrac{x+1}{2} \] とおく. \(x _ 0 = \dfrac{1}{2}\) から始め, 各 \(n = 1, 2, \cdots\) について, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で \(x _ n = f _ 0 ( x _ {n-1} )\) または \(x _ n = f _ 1 ( x _ {n-1} )\) と定める. このとき, \(x _ n \lt \dfrac{2}{3}\) となる確率 \(P _ n\) を求めよ.
【 解 答 】
条件から, 帰納的に考えて \[ 0 \leqq x _ n \lt 1 \] \(0 \leqq x _ n \lt \dfrac{1}{3}\) , \(\dfrac{1}{3} \leqq x _ n \lt \dfrac{2}{3}\) , \(\dfrac{2}{3} \leqq x _ n \lt 1\) となる確率をそれぞれ \(a _ n , b _ n , c _ n\) とおくと, 下図のグラフから考えて
\[
\left\{ \begin{array}{ll} a _ {n+1} = \dfrac{a _ n +b _ n}{2} & ... [1] \\ b _ {n+1} = \dfrac{a _ n +c _ n}{2} & ... [2] \\ c _ {n+1} = \dfrac{b _ n +c _ n}{2} & ... [3] \end{array} \right.
\]
\(a _ 0 = c _ 0 = 0\) かつ [1] [3] より, 帰納的に
\[
a _ n = c _ n \quad ... [4]
\]
また, \(a _ n +b _ n +c _ n = 1 \ ... [5]\) であることを用いれば,[2] より
\[\begin{align}
b _ {n+1} & = \dfrac{1 -b _ n}{2} \\
b _ {n+1} -\dfrac{1}{3} & = -\dfrac{1}{2} \left( b _ n -\dfrac{1}{3} \right)
\end{align}\]
したがって, 数列 \(\left\{ b _ n -\dfrac{1}{3} \right\}\) は
\[
\text{初項} : \ b _ 0 -\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} , \quad \text{公比} : \ -\dfrac{1}{2}
\]
の等比数列なので
\[\begin{align}
b _ n -\dfrac{1}{3} & = \dfrac{2}{3} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^n \\
\text{∴} \quad b _ n & = \dfrac{1}{3} \left\{ 1 -\left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n-1} \right\}
\end{align}\]
[4] [5] より
\[
a _ n = \dfrac{1 -b _ n}{2}
\]
よって, 求める確率は
\[\begin{align}
P _ n & = a _ n +b _ n = \dfrac{1 +b _ n}{2} \\
& = \underline{\dfrac{1}{3} \left\{ 2 +\left( -\dfrac{1}{2} \right)^n \right\}}
\end{align}\]