\(a \gt 0\) とする. 曲線 \(y = e^{-x^2}\) と \(x\) 軸, \(y\) 軸, および直線 \(x = a\) で囲まれた図形を, \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体を \(A\) とする.
(1) \(A\) の体積を求めよ.
(2) 点 \(( t , 0 ) \ ( -a \leqq t \leqq a )\) を通り \(x\) 軸と垂直な平面による \(A\) の切り口の面積を \(S(t)\) とするとき, 不等式 \[ S(t) \leqq \displaystyle\int _ {-a}^a e^{-( s^2+t^2 )} \, ds \] を示せ.
(3) 不等式 \[ \sqrt{\pi \left( 1 -e^{-a^2} \right)} \leqq \displaystyle\int _ {-a}^a e^{-x^2} \, dx \] を示せ.
【 解 答 】
(1)
求める体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = 2 \pi \displaystyle\int _ 0^a x e^{-x^2} \, dx \\ & = -\pi \displaystyle\int _ 0^a e^{-x^2} (-x^2)' \, dx \\ & = -\left[ e^{-x^2} \right] _ 0^a \\ & = \underline{\pi \left( 1 -e^{-a^2} \right)} \end{align}\]
(2)
平面 \(y = 0\) が \(xz\) 平面になるように, \(z\) 軸を定める.
\(A\) は \(y\) 軸を中心とした回転体なので, \(xz\) 平面で, 点 \(( t , s )\) における \(A\) の断面の \(y\) 軸方向の高さは, 点 \(( \sqrt{s^2 +t^2} , 0 )\) のそれと等しく
\[
e^{-( s^2 +t^2 )}
\]
よって
\[
S(t) = \displaystyle\int _ {-\sqrt{a^2 -t^2}}^{\sqrt{a^2 -t^2}} e^{-( s^2 +t^2 )} \, ds \leqq \displaystyle\int _ {-a}^a e^{-( s^2 +t^2 )} \, ds
\]
(3)
\(V = \displaystyle\int _ {-a}^a S(t) \, dt\) なので, (2) の結果を用いれば \[\begin{align} V & \leqq \displaystyle\int _ {-a}^a \left( e^{-t^2} \displaystyle\int _ {-a}^a e^{-s^2} \, ds \right) \, dt \\ & = \left( \displaystyle\int _ {-a}^a e^{-s^2} \, ds \right) \left( \displaystyle\int _ {-a}^a e^{-t^2} \, dt \right) \\ & = \left( \displaystyle\int _ {-a}^a e^{-x^2} \, dx \right)^2 \end{align}\] \(e^{-x^2} \gt 0\) より, \(\displaystyle\int _ {-a}^a e^{-x^2} \, dx \gt 0\) なので, (1) の結果を代入して \[ \sqrt{\pi \left( 1 -e^{-a^2} \right)} \leqq \displaystyle\int _ {-a}^a e^{-x^2} \, dx \]