\(xy\) 平面上を運動する点 P の時刻 \(t \ ( t \gt 0 )\) における座標 \(( x , y )\) が \[ x = t^2 \cos t , \ y = t^2 \sin t \] で表されている. 原点を O とし, 時刻 \(t\) における P の速度ベクトルを \(\overrightarrow{v}\) とする.
(1) \(\overrightarrow{\text{OP}}\) と \(\overrightarrow{v}\) のなす角を \(\theta (t)\) とするとき, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \theta (t)\) を求めよ.
(2) \(\overrightarrow{v}\) が \(y\) 軸に平行になるような \(t \ ( t \gt 0 )\) のうち, 最も小さいものを \(t _ 1\) , 次に小さいものを \(t _ 2\) とする. このとき, 不等式 \(t _ 2 -t _ 1 \lt \pi\) を示せ.
【 解 答 】
(1)
\[ \overrightarrow{\text{OP}} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = t^2 \left( \begin{array}{c} \cos t \\ \sin t \end{array} \right) \] また \[\begin{align} \dfrac{dx}{dt} & = 2t \cos t -t^2 \sin t , \\ \dfrac{dy}{dt} & = 2t \sin t +t^2 \cos t \end{align}\] なので \[\begin{align} \overrightarrow{v} & = \left( \begin{array}{c} \dfrac{dx}{dt} \\ \dfrac{dy}{dt} \end{array} \right) = t \left( \begin{array}{c} 2 \cos t -t \sin t \\ 2 \sin t +t \cos t \end{array} \right) \end{align}\] ここで, 複素平面を考えて \[\begin{align} \alpha (t) & = \cos t +i \sin t , \\ \beta (t) & = ( 2 \cos t -t \sin t ) +i ( 2 \sin t +t \cos t ) \end{align}\] とおけば \[ \theta (t) = \left| \arg \beta (t) -\arg \alpha (t) \right| = \left| \arg \dfrac{\beta (t)}{\alpha (t)} \right| \quad ... [1] \] と表せる. \[\begin{align} \dfrac{\beta (t)}{\alpha (t)} & = \left\{ ( 2 \cos t -t \sin t ) +i ( 2 \sin t +t \cos t ) \right\} ( \cos t -i \sin t ) \\ & = 2 +i t \\ & = \sqrt{t^2 +4} \left( \dfrac{2}{\sqrt{t^2 +4}} +\dfrac{i t}{\sqrt{t^2 +4}} \right) \end{align}\] なので, [1] より \[ \cos \theta (t) = \dfrac{2}{\sqrt{t^2 +4}} , \ \sin \theta (t) = \dfrac{t}{\sqrt{t^2 +4}} \quad ... [2] \] ここで, \(t \rightarrow \infty\) のときを考えると \[ \cos \theta (t) \rightarrow 0 , \ \sin \theta (t) \rightarrow 1 \] なので, 求める極限値は \[ \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \theta (t) = \underline{\dfrac{\pi}{2}} \]
(2)
[2] より \(t \gt 0\) において, \(\cos \theta (t) , \sin \theta (t)\) はそれぞれ単調減少, 単調増加するので, \(\theta (t)\) は単調増加する.それぞれの増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccc} t & (0) & \cdots & ( \infty ) \\ \hline \cos \theta (t) & (1) & \nearrow & (0) \\ \hline \sin \theta (t) & (0) & \searrow & (1) \\ \hline \theta (t) & (0) & \nearrow & \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \end{array} \] \(\overrightarrow{v}\) が \(x\) 軸正方向となす角は \(t +\theta (t)\) なので, \(t _ 1 , t _ 2\) について \[\begin{align} t _ 1 +\theta ( t _ 1 ) & = \dfrac{\pi}{2} , \\ t _ 2 +\theta ( t _ 2 ) & = \dfrac{3 \pi}{2} \end{align}\] \(0 \lt \theta ( t _ 1 ) \lt \theta ( t _ 2 ) \lt \dfrac{\pi}{2}\) より \[ 0 \lt \theta ( t _ 2 ) -\theta ( t _ 1 ) \lt \dfrac{\pi}{2} \] これを用いれば \[\begin{align} t _ 2 -t _ 1 & = \left( \dfrac{3 \pi}{2} -\theta ( t _ 2 ) \right) -\left( \dfrac{\pi}{2} -\theta ( t _ 1 ) \right) \\ & = \pi -\left( \theta ( t _ 2 ) -\theta ( t _ 1 ) \right) \lt \pi \end{align}\]
【 別 解 】（行列を用いる）
\[\begin{align}
\overrightarrow{v} & = \left( \begin{array}{c} \dfrac{dx}{dt} \\ \dfrac{dy}{dt} \end{array} \right) = t \left( \begin{array}{c} 2 \cos t -t \sin t \\ 2 \sin t +t \cos t \end{array} \right) \\
& = t \underline{\left( \begin{array}{cc} 2 & -t \\ t & 2 \end{array} \right)} _ {[1]} \left( \begin{array}{c} \cos t \\ \sin t \end{array} \right)
\end{align}\]
[1] を行列 \(A\) とおけば, \(\theta (t)\) は, \(A\) があらわす原点を中心とする回転移動の回転角にあたる.
したがって
\[\begin{align}
A & = \dfrac{1}{\sqrt{t^2 +4}} \left( \begin{array}{cc} \cos \theta (t) & -\sin \theta (t) \\ \sin \theta (t) & \cos \theta (t) \end{array} \right) \\
\text{∴} \quad & \cos \theta (t) = \dfrac{2}{\sqrt{t^2 +4}} , \ \sin \theta (t) = \dfrac{t}{\sqrt{t^2 +4}} \quad ... [2]
\end{align}\]