\(n\) を相異なる素数 \(p _ 1 , p _ 2 , \cdots , p _ k \ ( k \geqq 1 )\) の積とする. \(a , b\) を \(n\) の約数とするとき, \(a , b\) の最大公約数を \(G\) , 最小公倍数を \(L\) とし, \[ f (a,b) = \dfrac{L}{G} \] とする.

1. (1)　\(f (a,b)\) が \(n\) の約数であることを示せ.

2. (2)　\(f (a,b) = b\) ならば, \(a = 1\) であることを示せ.

3. (3)　\(m\) を自然数とするとき, \(m\) の約数であるような素数の個数を \(S(m)\) とする. \(S( f (a,b) ) +S(a) +S(b)\) が偶数であることを示せ.

【 解 答 】

(1)

\(a = G k\) , \(b = G \ell\) （ \(k , \ell\) は \(n\) の約数で, 互いに素 ... [1] ）と表せる.
このとき \(L = G k \ell\) なので \[ f(a,b) = \dfrac{G k \ell}{G} = k \ell \] [1] より, \(k \ell \leqq n\) なので, これは \(n\) の約数である.

(2)

条件より \[\begin{align} f(a,b) = k \ell & = b = G \ell \\ \text{∴} \quad k & = G \end{align}\] したがって \[ a = k^2 \] \(k \neq 1\) と仮定すると, \(n\) が \({p _ k}^2\) で割り切れることになり, 条件に矛盾する.
よって \[ k = 1 \] すなわち \[ a = 1 \]

(3)

(1) の結果と [1] から \[ S( f(a,b) ) = S(k) +S( \ell ) \] 条件から, \(G\) と \(k\) , \(G\) と \(\ell\) もともに互いに素なので \[ S(a) = S(G) +S(k) , \ S(b) = S(G) +S( \ell ) \] したがって \[ S( f (a,b) ) +S(a) +S(b) = 2 ( S(G) +S(k) +S( \ell ) ) \] よって, 題意は示された.