以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(\sqrt{2}\) と \(\sqrt[3]{3}\) が無理数であることを示せ.

2. (2)　\(p , q , \sqrt{2} +\sqrt[3]{3} q\) がすべて有理数であるとする. そのとき, \(p = q = 0\) であることを示せ.

【 解 答 】

(1)

\(p\) を素数, \(k\) を \(2\) 以上の自然数として \[ \sqrt[k]{p} \ \text{は無理数} \quad ... [ \text{A} ] \ . \] であることを背理法を用いて示す.
\(\sqrt[k]{p} = \dfrac{m}{n}\) （ \(m , n\) は互いに素 ... [1] ）とおいて, 無理数であると仮定する.
変形すると \[ n^k p = m^k \ . \] なので, \(m = p m'\) （ \(m'\) は自然数）と表せる.
これを代入すると \[\begin{align} n^k p & = p^k {m'}^k \\ \text{∴} \quad n^k & = p^{k-1} {m'}^k \ . \end{align}\] したがって, \(n = p n'\) （ \(n'\) は自然数）と表せるが, これは [1] に矛盾する.
よって, [A] が成立することが示され, \(\sqrt{2} , \sqrt[3]{3}\) はともに無理数であるといえる.

(2)

\(r = \sqrt{2} p +\sqrt[3]{3} q\) とおく.
これを変形すると \[\begin{align} \left( r -\sqrt{2} p \right)^3 = 3 q^3 & \\ r^3 -3 \sqrt{2} r^2 p +6r p^2 -2 \sqrt{2} p^3 = 3 q^3 & \\ \text{∴} \quad r^3 +6rp^2 -3q^3 -\sqrt{2} p ( 3r^2 +2p^2 ) & = 0 \ . \end{align}\] \(p , q , r\) はすべて有理数で, \(\sqrt{2}\) は無理数なので \[ \left\{ \begin{array}{ll} r^3 +6rp^2 -3q^3= 0 & ... [2] \\ p ( 3r^2 +2p^2 ) = 0 & ... [3] \end{array} \right. \ . \] [3] から, 場合分けして考える.

1. 1*　\(3r^2 +2p^2 = 0\) のとき
   \[ p = r = 0 \ . \] [3] に代入すれば \[\begin{align} -3q^3 & = 0 \\ \text{∴} \quad q & = 0 \ . \end{align}\]

2. 2*　\(p = 0\) のとき
   [3] に代入すると \[ r^3 = 3 q^3 \ . \] \(q \neq 0\) と仮定すれば, これを変形して \[\begin{align} \dfrac{r^3}{q^3} & = 3 \\ \text{∴} \quad \dfrac{r}{q} & = \sqrt[3]{3} \ . \end{align}\] \(\dfrac{r}{q}\) は有理数, \(\sqrt[3]{3}\) は無理数なので, 矛盾する.
   したがって \[ q = r = 0 \ . \]

よって, いずれの場合にも \[ p = q = r = 0 \ . \]