\(xy\) 平面において, 次の式が表す曲線を \(C\) とする. \[ x^2 +4y^2 = 1 , \ x \gt 0 , \ y \gt 0 \] P を \(C\) 上の点とする. P で \(C\) に接する直線を \(l\) とし, P を通り \(l\) と垂直な直線を \(m\) として, \(x\) 軸と \(y\) 軸と \(m\) で囲まれてできる三角形の面積を \(S\) とする. P が \(C\) 上の点全体を動くとき, \(S\) の最大値とそのときの P の座標を求めよ.

【 解 答 】

P \(\left( \cos \theta , \dfrac{1}{2} \sin \theta \right) \ \left( 0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) と表せる.
\(\ell\) は P における \(C\) の接線なので, \(\ell\) の式は \[ x \cos \theta +2y \sin \theta = 1 \ . \] \(m\) は \(\ell\) と垂直で, P を通るので, \(m\) の式は \[\begin{gather} 2 ( x -\cos \theta ) \sin \theta -\left( y -\dfrac{1}{2} \sin \theta \right) \cos \theta = 0 \\ \text{∴} \quad 2x \sin \theta -y \cos \theta = \dfrac{3}{2} \cos \theta \sin \theta \ . \end{gather}\] したがって, \(m\) の \(x\) 切片, \(y\) 切片はそれぞれ \[ \dfrac{3}{4} \sin \theta , \quad -\dfrac{3}{2} \cos \theta \ . \] なので \[\begin{align} S & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \sin \theta \cdot \dfrac{3}{2} \cos \theta \\ & = \dfrac{9}{16} \sin 2 \theta \leqq \dfrac{9}{16} \ . \end{align}\] 等号成立は, \(2 \theta = \dfrac{\pi}{2}\) すなわち \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) のとき.
よって, \(S\) は P が \(\underline{\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} , \dfrac{\sqrt{2}}{4} \right)}\) のとき, 最大値 \(\underline{\dfrac{9}{16}}\) をとる.