\(xy\) 平面において, \(3\) 次関数 \(y = x^3 -x\) のグラフを \(C\) とし, 不等式 \[ x^3 -x \gt y \gt -x \] の表す領域を \(D\) とする. また, P を \(D\) の点とする.
(1) P を通り, \(C\) に接する直線が \(3\) 本存在することを示せ.
(2) P を通り, \(C\) に接する \(3\) 本の直線の傾きの和と積がともに \(0\) になるような P の座標を求めよ.
【 解 答 】
(1)
P \(( p , q )\) とおくと, 条件から
\[
p \gt 0 , \ 0 \lt p+q \lt p^3 \quad ... [1] \ .
\]
\(C\) の式より
\[
y' = 3x^2 -1 \ .
\]
\(C\) 上の点 \(( t , t^3 -t )\) における \(C\) の接線の式は
\[\begin{align}
y & = ( 3t^2 -1 ) (x-t) +t^3 -t \\
& = ( 3t^2 -1 ) x -2t^3 \ .
\end{align}\]
これが P を通るならば
\[\begin{gather}
q = ( 3t^2 -1 ) p -2t^3 \\
\text{∴} \quad 2t^3 -3p t^2 +p +q = 0 \quad ... [2] \ .
\end{gather}\]
\(t\) の方程式 [2] が \(3\) つの異なる実数解をもつことを示せばよい.
[2] の左辺を \(f(t)\) とおくと
\[
f'(t) = 6t^2 -6pt = 6t (t-x) \ .
\]
したがって, \(f(t)\) の増減は下表のようになる.
\[
\begin{array}{c|ccccc} t & \cdots & 0 & \cdots & p & \cdots \\ \hline f'(t) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(t) & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array}
\]
ここで, [1] より
\[\begin{align}
f(0) & = p+q \gt 0 \ , \\
f(p) & = -p^3 +p +q \lt 0 \ .
\end{align}\]
なので, \(y = f(t)\) のグラフと \(y = 0\) は異なる \(3\) つの交点をもつ.
よって, 方程式 [2] は異なる \(3\) つの実数解をもち, 題意は示された.
(2)
[2] の \(3\) つの解を \(\alpha , \beta \gamma\) とおくと, 条件より \[ \left\{ \begin{array}{ll} 3 ( {\alpha}^2 +{\beta}^2 +{\gamma}^2) -3 = 0 & ... [2] \\ ( 3 {\alpha}^2 -1 ) ( 3 {\beta}^2 -1 ) ( 3 {\gamma}^2 -1 ) = 0 & ... [3] \end{array} \right. \ . \] また, 解と係数の関係より \[\begin{align} \alpha +\beta +\gamma & = \dfrac{3p}{2} \\ \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha & = 0 \\ \alpha \beta \gamma & = -\dfrac{p+q}{2} \ . \end{align}\] これらと, [2] より \[\begin{align} ( \alpha +\beta +\gamma )^2 -2 ( \alpha \beta & +\beta \gamma +\gamma \alpha ) -1 = 0 \\ \dfrac{9p^2}{4} & = 1 \\ \text{∴} \quad p & = \dfrac{2}{3} \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \ . \end{align}\] したがって \[ f(t) = 2t^3 -2t^2 +q +\dfrac{2}{3} \ . \] [3] より, \(\alpha , \beta , \gamma\) のいずれかが \(\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) であり, 対称性から \(\alpha = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) としてよい.このとき \[\begin{align} f( \pm \alpha ) & = \pm \dfrac{2 \sqrt{3}}{9} -\dfrac{2}{3} +q +\dfrac{2}{3} = 0 \\ \text{∴} \quad q & = \pm \dfrac{2 \sqrt{3} \ . }{9} \end{align}\] ここで, [1] より \[ p^3 -p = \dfrac{8}{27} -\dfrac{2}{3} = -\dfrac{10}{27} \gt q \ . \] \(10^2 \lt 6^2 \cdot 3\) より \(\dfrac{10}{27} \lt \dfrac{2 \sqrt{3}}{9}\) なので, \(q = -\dfrac{2 \sqrt{3}}{9}\) のみが適する.
よって, 求める P の座標は \[ \underline{\left( \dfrac{2}{3} , -\dfrac{2 \sqrt{3}}{9} \right)} \ . \]