サイコロを \(3\) 回投げて出た目の数を順に \(p _ 1 , p _ 2 \ p _ 3\) とし, \(x\) の \(2\) 次方程式 \[ 2 p _ 1 x^2 +p _ 2 x +2p _ 3 = 0 \quad ... \text{(＊)} \] を考える.

1. (1)　方程式 (＊) が実数解をもつ確率を求めよ.

2. (2)　方程式 (＊) が実数でない \(2\) つの複素数解 \(\alpha , \beta\) をもち, かつ \(\alpha \beta = 1\) が成り立つ確率を求めよ.

3. (3)　方程式 (＊) が実数でない \(2\) つの複素数解 \(\alpha , \beta\) をもち, かつ \(\alpha \beta \lt 1\) が成り立つ確率を求めよ.

【 解 答 】

(1)

(＊) の判別式 \(D\) について \[\begin{align} D = {p _ 2}^2 & -16 p _ 1 p _ 3 \geqq 0 \\ \text{∴} \quad & {p _ 2}^2 \geqq 16 p _ 1 p _ 3 \ . \end{align}\] \(p _ 1 , p _ 2 , p _ 3\) はサイコロの目なので \[\begin{align} 16 p _ 1 p _ 3 \leqq {p _ 2}^2 & \leqq 6^2 \\ p _ 1 p _ 3 & \leqq \dfrac{9}{4} \\ \text{∴} \quad p _ 1 p _ 3 & = 1 , 2 \ . \end{align}\] それぞれの場合について

1. 1*　\(p _ 1 p _ 3 = 1\) のとき, \(p^2 \geqq 16\) なので \[ p _ 2 = 4 , 5 , 6 \ . \] したがって, \(( p _ 1 , p _ 2 , p _ 3 )\) の組は, \(3\) 通り.

2. 2*　\(p _ 1 p _ 3 = 2\) のとき, \(p^2 \geqq 32\) なので \[ p _ 2 = 6 \ . \] したがって, \(( p _ 1 , p _ 2 , p _ 3 )\) の組は, \(2\) 通り.

よって, 求める確率は \[ \dfrac{3+2}{6^3} = \underline{\dfrac{5}{216}} \ . \]

(2)

解と係数の関係より \[ \alpha \beta = \dfrac{p _ 3}{p _ 1} \ . \] なので, \(\alpha \beta = 1\) より \[ p _ 1 = p _ 3 \quad ... [1] \ . \] [1] をみたす \(( p _ 1 , p _ 2 , p _ 3 )\) の組は \[ 6 \cdot 6 = 36 \ \text{通り} \ . \] このうち, (1) の1* の場合が含まれていることに注意すれば, 求める確率は \[ \dfrac{36 -3}{6^3} = \underline{\dfrac{11}{72}} \ . \]

(3)

\(\alpha \beta \lt 1\) より \[ p _ 1 \gt p _ 3 \quad ... [2] \ . \] [2] をみたす \(( p _ 1 , p _ 2 , p _ 3 )\) の組は \[ {} _ {6} \text{C} {} _ 2 \cdot 6 = 90 \ \text{通り} \ . \] このうち, (1) の2* の中の \(1\) 通り（ \(( p _ 1 , p _ 2 , p _ 3 ) = ( 2 , 6 , 1 )\) ）が含まれていることに注意すれば, 求める確率は \[ \dfrac{90 -1}{6^3} = \underline{\dfrac{89}{216}} \ . \]