---

\(a\) を正の定数とする. 原点を \(O\) とする座標平面上に定点 \(A = A \ ( a, 0 )\) と, \(A\) と異なる動点 \(P = P \ ( x, y )\) をとる. 次の条件
　　\(A\) から \(P\) に向けた半直線上の点 \(Q\) に対し \[ \dfrac{AQ}{AP} \leqq 2 \ \text{ならば} \ \dfrac{QP}{OQ} \leqq \dfrac{AP}{OA} \] を満たす \(P\) からなる領域を \(D\) とする. \(D\) を図示せよ.

---

【 解 答 】

\(\overrightarrow{AQ} = t \overrightarrow{AP}\) とおくと, \(\dfrac{AQ}{AP} \leqq 2\) より \[ 0 \leqq t \leqq 2 \] 条件より, \(\dfrac{AQ}{AP} \leqq 2\) のときに, 点 \(Q\) が点 \(O\) と一致してはいけない.
これは, 点 \(P\) が \(x\) 軸上にあって（ \(y = 0\) ） \[\begin{align} a +2(x-a) & \leqq 0 \\ \text{∴} \quad x \leqq \dfrac{a}{2} \end{align}\] のときである. 　... [1] \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{p}\) とおくと \[\begin{align} \overrightarrow{AP} & = \overrightarrow{p} -\overrightarrow{a} , \quad \overrightarrow{AQ} = t \left( \overrightarrow{p} -\overrightarrow{a} \right) , \\ \overrightarrow{OQ} & = \overrightarrow{OA} +\overrightarrow{AQ} = t \overrightarrow{p} -( t-1 ) \overrightarrow{a} , \\ \overrightarrow{PQ} & = \overrightarrow{OQ} -\overrightarrow{OP} = ( t-1 ) \left( \overrightarrow{p} -\overrightarrow{a} \right) \end{align}\] 以上を用いると, \(\dfrac{QP}{OQ} \leqq \dfrac{AP}{OA}\) より \[\begin{align} \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 \cdot \left| \overrightarrow{OA} \right|^2 \leqq \left| \overrightarrow{AP} \right|^2 & \cdot \left| \overrightarrow{OQ} \right|^2 \\ t^2 \left| \overrightarrow{AP} \right|^2 \cdot \left| \overrightarrow{a} \right|^2 \leqq \left| \overrightarrow{AP} \right|^2 & \cdot \left| t \overrightarrow{p} -( t-1 ) \overrightarrow{a} \right|^2 \\ t^2 \left| \overrightarrow{p} \right|^2 -2t( t-1 ) \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{p} & \geqq 0 \\ t \left\{ ( x^2+y^2 ) t -2ax( t-1 ) \right\} & \geqq 0 \quad ... [ \text{A} ] \end{align}\] したがって, \(0 \leqq t \leqq 2\) のとき, [A] を満たす正の実数 \(a\) が存在するための \(x , y\) の条件を求めればよい.

1. 1*　\(t = 0\) のとき \(x , y\) によらず [A] は成立する.

2. 2*　\(0 \lt t \leqq 2\) のとき
   [A] より \[ ( x^2+y^2 ) t -2ax( t-1 ) \geqq 0 \] 左辺を \(t\) の \(1\) 次関数とみなして \(f(t)\) とおくと \[ f(t) = ( x^2-2ax +y^2 ) t +2ax \] これが \(0 \lt t \leqq 2\) において \(f(t) \geqq 0\) となる条件は, 「 \(f(0) \geqq 0\) かつ \(f(2) \geqq 0\) 」 ... [2] .

   • \(f(0) \geqq 0\) より \[\begin{align} 2ax & \geqq 0 \\ \text{∴} \quad x & \geqq 0 \quad ( \ \text{∵} \ a \gt 0 ) \end{align}\]
   • \(f(2) \geqq 0\) より \[\begin{align} 2( x^2-ax +y^2 ) & \geqq 0 \\ \left( x -\dfrac{a}{2} \right)^2 +y^2 & \geqq \left( \dfrac{a}{2} \right)^2 \end{align}\]
   したがって, [2] は \[ x \geqq 0 \ \text{かつ} \ \left( x -\dfrac{a}{2} \right)^2 +y^2 \geqq \left( \dfrac{a}{2} \right)^2 \]

[1] , 1* , 2* および条件 \(( x , y ) \neq ( a , 0 )\) から, 求める領域は下図斜線部（境界は含み, 点 \(( 0 , 0 ) , ( a , 0 )\) は含まない）.