\(\alpha , \beta\) は異なる \(2\) つの実数とする. 座標平面において \(2\) 点 \(( \alpha , 1 )\) , \(( \beta , 1 )\) をそれぞれ点 \(( {\alpha}^2 , \alpha )\) , \(( {\beta}^2 , \beta )\) に移す \(1\) 次変換を表す行列を \(A\) とする. 自然数 \(n\) に対し, 点 \(\text{P} {} _ n \ ( x _ n , y _ n )\) を \[ \left( \begin{array}{c} x _ 1 \\ y _ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) , \ \left( \begin{array}{c} x _ {n+1} \\ y _ {n+1} \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] によって定める.
(1) \(Q = \left( \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ 1 & 1 \end{array} \right)\) とおくと, \(AQ = Q \left( \begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right)\) となることを示せ.
(2) 数列 \(\{ x _ n \} , \{ y _ n \}\) の一般項を求めよ.
(3) 点 \(\text{P} {} _ 2 , \text{P} {} _ 3 , \text{P} {} _ 4 , \cdots\) がすべて直線 \(y = \dfrac{1}{2} x\) 上にあるような \(\alpha , \beta\) を \(1\) 組求め, そのときの行列 \(A\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
条件より \[ A \left(\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ 1 & 1 \end{array}\right) = AQ = \left(\begin{array}{cc} {\alpha}^2 & {\beta}^2 \\ \alpha & \beta \end{array}\right) \quad ... [1] \] また \[ Q \left(\begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ 1 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} {\alpha}^2 & {\beta}^2 \\ \alpha & \beta \end{array}\right) \] よって \[ AQ = Q \left( \begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right) \]
(2)
与えられた漸化式より \[ \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) = A^{n-1} \left( \begin{array}{c} x _ 1 \\ y _ 1 \end{array} \right) = A^{n-1} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \] 条件より \(|Q| = \alpha -\beta \neq 0\) なので, \(Q\) には逆行列 \(Q^{-1}\) が存在し \[ Q^{-1} = \dfrac{1}{\alpha -\beta} \left(\begin{array}{cc} 1 & -\beta \\ -1 & \alpha \end{array}\right) \] また, (1) の結果より \(A = Q \left( \begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right) Q^{-1}\) なので, \(n\) 回掛けあわせると \[ A^n = Q \left( \begin{array}{cc} {\alpha}^n & 0 \\ 0 & {\beta}^n \end{array} \right) Q^{-1} \] これらを用いれば, \(n \geqq 2\) について \[\begin{align} \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) & = Q \left( \begin{array}{cc} {\alpha}^{n-1} & 0 \\ 0 & {\beta}^{n-1} \end{array} \right) Q^{-1} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \\ & = \dfrac{1}{\alpha -\beta} \left(\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ 1 & 1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} {\alpha}^{n-1} & 0 \\ 0 & {\beta}^{n-1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \\ & = \dfrac{1}{\alpha -\beta} \left(\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ 1 & 1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} {\alpha}^{n-1} \\ -{\beta}^{n-1} \end{array} \right) \\ & = \dfrac{1}{\alpha -\beta} \left( \begin{array}{c} {\alpha}^n -{\beta}^n \\ {\alpha}^{n-1} -{\beta}^{n-1} \end{array} \right) \end{align}\] よって \[ x _ n = \underline{\dfrac{{\alpha}^n -{\beta}^n}{\alpha -\beta}} , \ y _ n = \underline{\dfrac{{\alpha}^{n-1} -{\beta}^{n-1}}{\alpha -\beta}} \] これは, \(n = 1\) のときも満たしている.
(3)
(2) の結果を代入すれば, \(n \geqq 2\) について
\[\begin{align}
\dfrac{{\alpha}^{n-1} -{\beta}^{n-1}}{\alpha -\beta} & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\alpha}^n -{\beta}^n}{\alpha -\beta} \\
\text{∴} \quad {\alpha}^n -{\beta}^n & = 2 ( {\alpha}^{n-1} -{\beta}^{n-1} )
\end{align}\]
これを繰り返し用いれば
\[
{\alpha}^n -{\beta}^n = 2^{n-1} ( \alpha -\beta )
\]
これは, \(n = 1\) のときも満たしている.
したがって
\[\begin{align}
{\alpha}^2 -{\beta}^2 & = 2 ( \alpha -\beta ) \\
\text{∴} \quad \alpha +\beta & = 2 \quad ... [2]
\end{align}\]
また
\[\begin{align}
{\alpha}^3 -{\beta}^3 & = 4 ( \alpha -\beta ) \\
( \alpha +\beta )^2 -\alpha \beta & = 4 \\
\text{∴} \quad \alpha \beta & = 0 \quad ... [3]
\end{align}\]
[2] [3] より, 求める \(1\) 組は
\[
( \alpha , \beta ) = \underline{( 2 , 0 )}
\]
このとき, [1] より
\[\begin{align}
A & = \left(\begin{array}{cc} {\alpha}^2 & {\beta}^2 \\ \alpha & \beta \end{array}\right) Q^{-1} \\
& = \dfrac{1}{\alpha -\beta} \left(\begin{array}{cc} {\alpha}^2 -{\beta}^2 & \alpha \beta ( \alpha -\beta ) \\ \alpha -\beta & 0 \end{array}\right) \\
& = \left(\begin{array}{cc} \alpha +\beta & \alpha \beta \\ 1 & 0 \end{array}\right) \\
& = \underline{\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)}
\end{align}\]